Какво е допирателната към кръга? Свойства на допирателната към окръжността. Общата допирателна към две кръгове

Secs, тангенти - всичко това стотици пъти можете да чуете в уроците на геометрията. Но завършването на училището, минавайки през годините, и всичко това знание е забравено. Какво трябва да си спомня?

същност

Терминът "допирателна към кръга" е познат на всички, вероятно. Но едва ли всеки ще може бързо да формулира определението си. Междувременно допирателната е права линия, лежаща в една равнина с кръг, който я пресича само в една точка. Може да има огромен брой от тях, но те всички имат същите свойства, които ще обсъдим по-долу. Не е трудно да се предположи, че точката на допиране е мястото, където се пресичат кръга и линията. Във всеки случай, това е едно, но ако има повече, то вече ще бъде отчайващо.

История на откриването и изучаването

Концепцията за тангента се появява в древни времена. Изграждането на тези права линии първо в кръга, а след това и на елипси, параболи и хиперболи с помощта на владетел и компас, се извършва дори в началните етапи на развитие на геометрията. Разбира се, историята не задържа името на откривателя, но е очевидно, че дори по това време хората са знаели свойствата на допирателната към кръга.

В днешно време интересът към това явление отново се разпали - нов кръг на изучаване на тази концепция започна във връзка с откриването на нови криви. По този начин, "Галилео" въвежда концепцията за циклоида, а Ферма и Декарт си изграждат допирателна връзка. Що се отнася до кръговете, изглежда, че дори и за древните няма тайни в тази област.

свойства

Радиусът, изчертан в точката на пресичане, ще бъде перпендикулярен на правата линия. Това е Основна, но не и единствената собственост, която е допирателна към кръга. Друга важна характеристика включва две прави линии. Така че, чрез една точка, разположена извън кръга, можете да нарисувате две тангенции и техните сегменти ще бъдат равни. Има още една теорема по тази тема, но рядко се провежда в рамките на стандартен курс, въпреки че е изключително удобен за решаване на някои проблеми. Звучи така. От една точка, разположена извън окръжността, се привличат допирателна и секционна. Сегментите AB, AC и AD се формират. А е пресечната точка на линиите, В е точката на допир, В и Д са кръстовищата. В този случай ще бъде валидна следната равнопоставеност: дължината на допирателната към окръжността, квадрат, ще бъде равна на произведението на сегментите AC и AD.

От гореизложеното има важно значение. За всяка точка от окръжността може да се конструира допирателна, но само една. Доказателството за това е съвсем проста: теоретично отпадайки перпендикуляра от радиуса, откриваме, че образуваният триъгълник не може да съществува. И това означава, че допирателната е уникална.

сграда

Сред другите проблеми в геометрията има специална категория, като правило не Радвайки се на любовта на учениците и студентите. За да разрешите задачи от тази категория, са необходими само компас и влак. Това са строителни задачи. Там те са и изграждането на тангента.

Така че, има кръг и точка, разположена извън границите му. И е необходимо да се докосне до тях. Как може да се направи това? На първо място, трябва да нарисуваме сегмент между центъра на кръга О и дадена точка. След това, като използвате компаса, трябва да го разделите на половина. За да направите това, трябва да посочите радиус - малко над половината от разстоянието между центъра на оригиналния кръг и дадена точка. След това трябва да изградим две пресичащи се дъги. И радиусът на компаса не трябва да се променя, а центърът на всяка част от окръжността е началната точка и съответно О. Пресечните точки на дъгите трябва да бъдат съединени, което ще разделя сегмента на половина. Задайте радиус, равен на това разстояние на компаса. Освен това, с центъра в пресечната точка, конструирайте друг кръг. То ще съдържа както оригиналната точка, така и О. Ще има още две пресечни точки с дадения кръг в проблема. Те ще бъдат точките на контакт за началната точка.

интересен

Това беше конструкцията на тангентите в кръга, довел до раждането Диференциално смятане. Първата работа по тази тема бе публикувана от известния немски математик Leibniz. Той предвижда възможността за намиране на максимуми, минимуми и тангентове, независимо от частичните и ирационални стойности. Е, сега се използва за много други изчисления.

В допълнение, допирателната към окръжността е свързана с геометричното значение на допирателната. От това произлиза името му. В превод от латинските тангенси - "тангенс". По този начин, тази концепция се свързва не само с геометрията и диференциалното смятане, но и с тригонометрията.

Две кръгове

Не винаги допирателната ще засегне само една фигура. Ако можете да рисувате огромен брой прави линии в един кръг, тогава защо не и обратното? Можете да го направите. Това е само проблемът в този случай е сериозно сложно, защото допирателната към две кръгове не може да премине през никакви точки и взаимното подреждане на всички тези фигури може да бъде много по-различно.

Видове и сортове

Що се отнася до две кръгове и една или няколко линии, дори ако е известно, че те са допирателни, не става ясно веднага как всички тези фигури са подредени един спрямо друг. Въз основа на това разграничавайте няколко разновидности. Така че, кръговете могат да имат една или две общи точки или изобщо да нямат такива. В първия случай те ще се пресичат, а във втория - допир. И тук разграничаваме два сорта. Ако един кръг е всъщност вграден във втория, то докосването се нарича вътрешно, ако не е, то външно. Можете да разберете взаимното подреждане на фигурите не само от чертежа, но и с информация за сумата от радиусите им и разстоянието между техните центрове. Ако тези две величини са равни, тогава кръговете докосват. Ако първата е по-голяма - пресичат се, а ако са по-малко - тогава нямат общи точки.

Така е с прави линии. За всеки два кръга, които нямат общи точки,
Изградете четири тангента. Две от тях ще се пресичат между фигурите, те се наричат вътрешни. Няколко други са външни.

Ако говорим за кръгове, които имат една обща точка, тогава проблемът е сериозно опростен. Факт е, че за всяко взаимно споразумение в този случай допирателната ще има само една. И ще минава през точката на пресичането им. Така че изграждането на трудността няма да причини.

Ако фигурите имат две точки на пресичане, може да бъде конструирана права линия, допирателна към окръжността, както едно, така и второ, но само външното. Решаването на този проблем е аналогично на това, което ще бъде обсъдено по-късно.

Решаване на проблеми

Както вътрешната, така и външната допирателна към две кръгове в строителството не са толкова прости, въпреки че този проблем е решен. Факт е, че за тази цел се използва допълнителна цифра, така че да мислите за такъв метод сам Това е доста проблематично. По този начин са дадени два кръга с различни радиуси и центрове O1 и O2. За тях трябва да изградим две двойки допирателни.

На първо място, в близост до центъра на по-голям кръг, трябва да изградим помощна. В същото време разликата между радиусите на двете оригинални цифри трябва да бъде установена на компаса. От центъра на по-малък кръг се допират до спомагателния кръг. След това от O1 и O2 се правят перпендикулярни на тези прави линии, преди да се премине с оригиналните фигури. Както следва от основната характеристика на допирателната, са намерени необходимите точки в двата кръга. Проблемът е решен поне в първата му част.

За да се изградят вътрешни допирателни, е необходимо да се реши практически Подобен проблем. Отново имаме нужда от допълнителна фигура, но този път нейният радиус ще бъде равен на сумата от оригиналните. За нея допингът е изграден от центъра на един от тези кръгове. По-нататъшният ход на решението може да бъде разбран от предишния пример.

Допирателна към кръг или дори две или повече не е толкова трудна задача. Разбира се, математиците отдавна са престанали да решават такива проблеми ръчно и да разчитат на изчисления на специални програми. Но не мислете, че сега не е нужно да можете да го направите сами, защото правилно формулирате задачи за компютъра, които трябва да направите много и да разберете. За съжаление, има опасения, че след окончателния преход към тестовата форма на контрол на знанията строителните задачи ще причинят все повече и повече трудности за студентите.

Що се отнася до намирането на общи допирателни за повече кръгове, това не винаги е възможно, дори ако те са в една и съща равнина. Но в някои случаи можете да намерите такава права линия.

Примери от живота

В практиката често се среща често срещана допир до две кръгове, въпреки че това не винаги е забележимо. Конвейерите, блоковите системи, трансферните ленти на макарите, опъването на конеца в шевната машина и дори само велосипедната верига са примери от живота. Така че не мислете, че геометричните проблеми остават само на теория: в инженерството, физиката, строителството и много други области те намират практическо приложение.