Какво е число с плаваща точка?

Представянето на реални (или реални) числа, където те се съхраняват като мантиса и експонента са числа с плаваща запетая (може би точка, както е прието в англоговорящите страни). Въпреки това, броят е снабден с фиксирана относителна точност и промяна на абсолютно. Представителство, който се използва най-често, одобрен стандарт IEEE 754. операции Математически, които използват с плаваща запетая се прилагат при използването на компютърни системи - хардуер и софтуер.

Точка или запетая

Подробният списък с десетичен разделител идентифицира онези англоговорящите страни и anglofitsirovannye, където записите от числа, разделени с дробна част от цялата работа, защото терминологията на тези страни, приети името плаваща запетая - "плаваща запетая". В Руската федерация, дробна част от цялото традиция, разделени със запетая, така че тя представлява едно и също понятие исторически признат терминът "плаваща запетая". Въпреки това, днес в техническата документация и в руската литература се допуска и двете опции.

Терминът "плаваща запетая" произлиза от факта, че позиционната представителство брой е запетая (нормален десетичен или двоичен - компютър), който може да се побере навсякъде сред номерата на редове. Тази функция е, че да го предвиди отделно. Това означава, че представителството на числа с плаваща запетая може да се разглежда като един компютър прилагане на експоненциален формат. Предимството на използването на такъв представяне на изображение формат фиксирана точка и цели числа, които варират от стойности нараства значително, когато че относителната точност остава непроменена.

пример

Ако запетаята в броя на фиксирани, а след това да изгори това е само един формат. Например, даден малко на шест на брой и две цифри в дробна част. Това може да стане само по този начин: 123456.78. Форматът на числа с плаваща запетая, даващи пълна възможност за изява. Например, даден същите осем цифри. Опции на запис може да бъде всеки, ако програмистът не прави двуцифрен икономисвайте мито допълнително поле, където тя ще запише експонатите, които обикновено са 10, и от 0 до 16 и зауствания, докато общият брой ще бъде десет 8 + 2.

Някои варианти на записа, който ви позволява да форматирате числа с плаваща запетая: 12345678000000000000; 0.0000012345678; 123.45678; 1.2345678 и така нататък. В този формат, има дори и единица за измерване на скоростта! По-скоро, за изпълнението на една компютърна система, която записва скоростта, с която компютърът изпълнява операции, където има представителство на числа с плаваща запетая. Това изпълнение се измерва по отношение на флоп (операции с плаваща запетая в секунда, което се превежда като броят на сделките в секунда с плаваща запетая). Това е основната единица в скоростта на измерване компютърна система.

структура

Рекорден брой в точка формат плаваща е необходимо, както следва, като се спазва последователността на задължителните части, защото този запис е експоненциално, което показва реалните числа като мантиса и ред. Необходимо е да се представят твърде големи и твърде малки количества, те са много по-лесни за четене. Необходими части: записва броят (N), мантисата (М), редът на знак (P) и реда (п). Последните две характеристики на знака. Следователно, N = ^М. п ^р. Така написан с плаваща запетая. Примери ще бъдат променяни.

1. Необходимо е да се запишете на броя на един милион, така че да не се загубиш в нулите. 1000000 - това е един нормален запис, аритметика. Компютърът е както следва: ^{1.0. 06 октомври.} Това означава, че десет до шестия власт - три знака, които се вписват в най-много шест нули. Така възниква представяне на броя на фиксирана и плаваща точка, където веднага може да открие разлики в изписването.

2. И толкова трудно номер е 1435000000 (един милиард четиристотин тридесет и пет хиляди) също може да бъде написано просто: ^{1435. 10} септември само. Така е и със знак минус може да пише всеки номер. Това е всичко, и се различават една от друга с броя на фиксирана и плаваща запетая.

Но това е повече от това как да бъде ниска? Да, много лесно.

3. За пример, като марка на една милионна? = 0.000001 ^1.0. 10 ^-6. Значително улеснено и писане номера, и го прочетете.

4. по-сложно? Петстотин и четиредесет и шести милиардна: 0.000000546 = ^546. 10 ^-9. Тук. Обхватът на плаваща точка е много широк.

форма

Номер на форма може да бъде нормална или нормализирана. Нормално - винаги се спазва точността на числа с плаваща запетая. Трябва да се отбележи, че мантисата в тази форма, без да се отчита на знака, е половината от интервала 0 1, а след това 0 ⩽ а <1. Не е в нормална форма на броя на губи своята точност. Недостатъкът на нормална форма е, че много номера могат да бъдат написани по различен начин, което е двусмислен. Пример различни записи на същия номер: 0 = 0.0001, ^000001. 10 ² = ^0,00001. Януари ¹⁰ = ^0,0001. 10 ⁰ = ^0,001. 10 ^-1 = ^0,01. 10 ^-2, и така може да бъде много по-. Ето защо компютърът използва различен нормализирана бройна система, където десетичната мантисата поема стойността на дяловете (включително), и по този начин до десет (не е включена), и по същия начин двоичен номер мантиса е на стойност между един (включително) до две (не включително).

Така че, 1 ⩽ а <10 Това -. Двоични числа с плаваща запетая, и тази форма на запис на произволен брой (с изключение на нула) улавя по уникален начин. Но също така има и недостатък - невъзможността да си представим този вид нула. Затова информатика предвижда използването на специални номера 0 знаци (битови). число част (MSB) на мантисата в бинарен номер освен нула в нормализирана форма е равна на 1 (имплицитно единица). Този запис се използва стандарт IEEE 754. позиционен номер система, където базата е повече от два (трикомпонентна, кватернерни и други системи), това свойство не е закупен.

реала

Реални числа с плаваща запетая и обикновено са само, тъй като не е единствената, но най-удобен начин за представяне на реално число, така да се каже, един компромис между диапазона на стойностите и точност. Това е аналогично на експоненциален нотация, се извършва само в компютъра. Плаваща точка номер - набор от отделни битове е разделена на знак (знак), за (степен) и мантиса (богомолка). Най-често срещаният формат е IEEE 754 число с плаваща точка на като набор от битове, които кодират част от своята мантиса, от друга страна - степента и един бит показва знака на броя: нула - ако тя е положителна, устройството - ако числото е отрицателно. Цялата процедура се записва с цифра (код отместване) и мантисата - в нормализирана форма, фракционния част - в двоична система.

Всеки знак - е едно малко, което показва знака за всички числа с плаваща запетая. Мантисата и ред - са цели числа, те, заедно с този знак и да направи представяне на числа с плаваща запетая. Процедурата може да се нарече експоненциална или експонат. Не всички реални числа могат да бъдат представени в един компютър в точния им смисъл, а останалите са представени приблизителни стойности. А много по-лесен вариант - да представи реално число с фиксирана точка, където реалното и цялата страна ще се съхраняват отделно. Най-вероятно, така че цялата част е винаги разпределени X бита и фракционна - Y бита. Но архитектурата на процесорите не са запознати с този метод, но тъй като се отдава предпочитание на броя на числа с плаваща запетая.

допълнение

Добавяне на числа с плаваща запетая е съвсем проста. Във връзка със стандартна единична точност броя на IEEE 754, че има голям брой битове, така че е по-добре да се премине към примерите, с по-добра идея да се вземе най-малкото число с плаваща запетая. Например, двете числа - X и Y.

Стъпките са следните:

а) Номерата трябва да бъдат представени в нормализирана форма. Това очевидно е скрит един. X = ^1,110. 2 ^{2 и} Y = ^1000. 2 ^0.

б) да продължи процеса на състава може да се изравнят само изложителите, но тя трябва да се пренапише стойността на Y. Това ще съответства на стойността на нормализирани числа, въпреки че в действителност - unnormalizes.

Изчислява се разликата между експонатите на степен 2 - 0 = 2. Сега се движат мантисата за компенсиране на тези промени, това означава, добавете 2 към индекса на втория план, като по този начин се движат със запетая скрити единици в две точки от ляво. 0,0100 се ^{получава.} 2 ^2. Това ще бъде еквивалент на предишната стойност Y, тогава вече има Y ".

в) Сега трябва да добавите до броя на мантисата X и Y. регулира

1,110 + 0,01 = 10,0

Изложител все още е представена от параметъра X, който е равен на 2.

ж) сумата, получена в предишната стъпка, изместен единица нормализиране, тогава ще трябва да се смени и експонентата сумата и повторете. 10.0 с два бита от ляво на десетичната точка, броят сега е необходимо да се нормализира, т.е. движи запетаята наляво от една точка, и експонента, съответно, повишена с 1. Оказва се, ^{1000. 02 Март.}

д) Време е да преобразувате число с плаваща точка в еднобайтовата система.

заключение

Както можете да видите, добавете тези числа не са прекалено твърди, нещо, което плува запетая. Освен ако, разбира се, с изключение на което броят на по-ниска степен сред повече (в горния пример, това е база до X), както и възстановяването на статуквото, т.е. въпросът за компенсация - преместване на десетичната точка отляво на мантисата. Когато вече е била прилагана добавянето, много е възможно и още един проблем - perenormirovanie и орязване малко, ако броят им не съответства на броя, за да го представлява.

умножение

Binary система предлага два метода, чрез който умножава номерата на числа с плаваща запетая. Тази задача може да се извърши чрез умножение, която започва с най-незначителните битове и който започва с високи битове в множител. И двата случая съдържат редица операции последователно подреждане частичен продукт. Тези операции се управляват чрез прибавяне на мултипликатор бита. Така че, ако един от бита на множителя е единица, сумата от частичните продукти от множителя расте със съответна промяна. Ако една цифра на множителя промъкнал нула, докато не се добавя множителя.

Ако умножение се извършва само с две цифри, продукт на числата в неговия размер не може да надвишава броя на цифрите, които се съдържат в факторите, повече от два пъти, а за големите числа е много, много. Ако се умножи по някакъв номер, продуктът не рискува да се побере на екрана. Тъй като броят на бита на всеки цифров апарат е много ограничен, а това принуждава да се ограничи максимум два пъти броя разширители цифри. И ако броят на местата е ограничен, в продукта, неизбежно ще въведе грешки. Ако размерът на изчисление е голям, грешката на припокриване, и като резултат значително увеличава цялостната точност. Тук, единственият начин - да се развие в резултатите за умножение, а след това работи за грешки се редуват. Когато една операция умножение, става възможно да се излезе извън мрежата на цифрите, но само от по-младите, защото има ограничение, наложено от броя на които са представени под формата на фиксирана точка.

някои обяснения

По-добре да започнем от самото начало. Най-разпространеният начин за представяне на броя - номерата на редовете като цяло число, където запетаята се подразбира в самия край. Този низ може да бъде всяка дължина, но запетая стои на правилното място за него, разделяща число от дробна част от него. Форматът на представяне на системата за фиксирана точка непременно поставя някои условия на местоположението на десетичната запетая. Научно нотация използва стандартен нормализирана оглед на представителството на номера. Това aqn {\ displaystyle вод ^ {N }} воден п. Тук {\ displaystyle ^а} а и тя се нарича мантиса дантела. Точно за това, което беше казано, че 0 ⩽ а <р. Освен това, всички трябва вече да е ^{ясно: п {/ displaystyle п} п} - цяло число експонента, и ^Q {/ displaystyle Q} р - също цяло число, което е в основата на корен (писмо често 10). Мантисата оставите запетая след първата цифра, която не е нула, но по-нататък запис се прехвърля информацията за настоящата стойност на числото.

Число с плаваща точка е писано много подобно на всички ясни стандартни входни номера, само експонат и мантиса се отчитат отделно. Последно на едни и същи и в нормализирана формат - фиксирана точка, която е украсена с първата значеща цифра. Само с плаваща запетая се използва предимно в компютъра, което е, в електронния представителството на където системата не е десетична и двоична, където дори мантиса Денормализиране пренаредени точка - сега тя е преди първата цифра, а след това и преди, а не след това, когато цялата част по принцип не може да бъде. Например, нашата собствена десетична система ще даде своя девет двоична система за временно ползване. И това ще запише и мантиса с плаваща запетая като този: +1001000 ... 0, и то, а индексът 0 ... 0100. Но десетичната система не успява да произведе такива сложни изчисления, които могат да бъдат в двоичен, като се използва под формата на числа с плаваща запетая.

дълго аритметика

В електронните компютри имат вградени софтуерни пакети, в които разпределят за мантисата и експонентата на размера на паметта определен софтуер, ограничени само от размера на паметта на компютъра. Тя изглежда като дълго аритметика, това е, прости операции на номера, който изпълнява компютър. Всичко това е една и съща - изваждане и добавяне, деление и умножение, елементарни функции и изграждането на корена. Но броят на много по-различно, техният капацитет е значително по-голяма от дължината на думата на машината. Изпълнението на тези операции не е от хардуер и софтуер, но той е широко използван основно хардуер, за да работят с много по-малък брой поръчки. Има още и аритметика, в които броят на дължина ограничен само от обема на паметта - произволна точност аритметика. А дълго аритметика се използва в много области.

1. За да компилирате кода (процесори, микроконтролери с ниска битова дълбочина - 10-битови регистри и осем-битова дължина на думата, това не е достатъчно, за да се справят с информацията от аналогово-цифров (аналогово-цифров преобразувател), и поради това не може да мине без дълъг аритметика.

2. Също така, за криптографията се използва дълга аритметика, където е необходимо да се гарантира точността на резултата от експоненциране или умножение до 10 ³⁰⁹ . Цялата аритметика се използва modulo m - голямо естествено число, а не непременно просто.

3. Софтуер за финансисти и математици също не може да направи без дълга аритметика, защото само по този начин можете да проверите резултатите от изчисленията на хартия - с помощта на компютър, осигурявайки висока точност на числата. Плаваща точка те могат да нарисуват толкова дълго, колкото желаете. Но инженерните изчисления и работата на учените рядко изискват интервенция на софтуерни изчисления, тъй като е много трудно да се направи вход без да се правят грешки. Обикновено те са много по-големи от резултатите от закръгляването.

Бойни грешки

При операциите с числа, в които запетаята е плаваща, е много трудно да се оцени грешката на резултатите. Досега не е измислена математическа теория, която да удовлетворява всичко, което би спомогнало за разрешаването на този проблем. Но грешките с цели числа са лесни за оценка. Възможността да се отървете от неточности е на повърхността - просто използвайте само номера с фиксирана запетая. Например, финансовите програми се основават на този принцип. Обаче е по-лесно: необходимия брой цифри след десетичната запетая е известен предварително.

Други приложения не могат да бъдат ограничени до това, защото е невъзможно да се работи с много малки или много големи числа. Следователно, когато се работи, винаги се взема предвид, че са възможни неточности и следователно, когато се получават резултатите, е необходимо да се закръгли. А автоматично закръглянето често е неадекватно действие и следователно закръгляването е определено специално. Сравнението е много опасно в това отношение. Тук, дори да се направи оценка на размера на бъдещите грешки, е изключително трудно.