Редове на Фурие: историята и влиянието на математическия механизъм за развитието на науката

Редове на Фурие - тази гледна точка произволно избрана функции за периода, в един ред. В общи линии, този разтвор се нарича елемент разширяване на ортогонална база. Разширяването на функции в серия Фурие е доста мощен инструмент за решаване на различни проблеми, дължащи се на свойствата на преобразуването в интеграция, диференциация, както и промяна в експресията на аргумент и извивка.

Човек, който не е запознат с висша математика, както и с творчеството на френския учен Фурие, най-вероятно няма да разберат това, което "звания" и какво правят. И все пак тази трансформация е доста здраво влязъл живота ни. Той се използва не само математика, но и физици, химици, лекари, астрономи, сеизмолози, океанолози и др. Нека също така погледнем по-отблизо с творчеството на великия френски учен, които са направили откритието, изпреварил времето си.

Мъжът и преобразуване на Фурие

Фурие серия е един от методите (заедно с анализ и други) на трансформацията на Фурие. Този процес протича всеки път, когато човек чуе всеки звук. ухото ни автоматично преобразува звуковата вълна. Колебателно движение на елементарни частици в еластична среда се разширява в серия (спектъра) последователни стойности обем за тонове на различни височини. На следващо място, в мозъка се превръща тези данни в познати звуци за нас. Всичко това е в допълнение към нашето желание или самото съзнание, но за да се изучат процесите, да отнеме няколко години, за да учи висша математика.

Прочетете повече за преобразуване на Фурие

Трансформацията на Фурие може да се извърши аналитична, цифри и други методи. серия Фурие са номер метод за разлагане всякакви колебания процеси - от приливи и океанските вълни на светлина до слънчеви цикли (и други астрономически обекти) активност. С помощта на тези математически техники, че е възможно да се разглоби функция, представляващи някакви колебания процеси в редица синусоидални компоненти, които излизат от минимум до максимум и обратно. В преобразувание на Фурие е функция, описваща фаза и амплитуда на хармоници, съответстващи на определена честота. Този процес може да се използва за решаване на много сложни уравнения, които описват динамични процеси, протичащи под действието на топлина, светлина или електрическа енергия. Също така, Фурие серия използва за разграничаване DC компоненти в сложни форми на вълната, което позволява да се интерпретира правилно експериментални наблюдения в областта на медицината, химията и астрономията.

историческа информация

Бащата основаването на тази теория е френски математик Жан Batist Zhozef огън. Името му по-късно и тази трансформация е наречен. Първоначално, учените използват техника за изследване и обясни механизмите на топлопроводимост - топлина размножаване в твърди вещества. Фурие предполага, че първоначалната неравномерното разпределение на топлинна вълна може да бъде разложен на прост синусоида, всеки от които ще има температура минимум и максимум, както и неговата фаза. По този начин всеки такъв компонент да се измерва от минимум до максимум и обратно. Математическият функцията, която описва горните и долните върхове на кривата, както и фазата на всеки хармоник, наречен преобразувание на Фурие на разпределението на температурата на изразяване. Авторът на теорията на намалена общата функция за разпространение, която е трудно да се математическо описание, в много лесно да се справят с редица периодични функции на синус и косинус, в размер на даване първоначалното разпределение.

Принципът на преобразуване и възгледите на съвременници

Съвременниците на учен - водещите математиците от началото на деветнадесети век - не приемат тази теория. Основното възражение е одобрението на Фурие, че прекъснатата функция, описваща права линия или крива е разрушен, то може да се представи като сума от синусоидални изрази, които са непрекъснато. Като пример, помислете за "стъпка" Хевисайд: стойността му е нула отляво на пропастта и една отдясно. Тази функция се описва зависимостта на електрически ток върху променливата време за веригата за закриване. Съвременната теория по това време, не е срещал такава ситуация, когато прекъснат израз ще бъдат описани чрез комбинация от непрекъснати, общи функции, като например експоненциално, задължително, линейна или квадратно.

Какво притеснявани френските математиците в теорията на Фурие?

В крайна сметка, ако математик беше прав да споря, а след това, сумиране безкрайно тригонометрични Фурие серия, е възможно да се получи точно представяне на стъпалото на изразяване, дори и да има набор от подобни стъпки. В началото на деветнадесети век, това твърдение изглежда абсурдно. Но въпреки всички съмнения, много математици са разширили обхвата на изследването на това явление, тя се движи отвъд проучванията на топлопроводност. Въпреки това, повечето учени продължават да страдат от въпроса: "Може ли сумата от задължително серия вълна клони към точната стойност на прекъснат функция"

Конвергенция на Фурие серия: например

Въпросът за конвергенция се издига всеки път, когато имате нужда от сумиране на безкрайна поредица от числа. разгледа класически пример за разбирането на това явление. Можеш ли изобщо да достигнат до стената, ако всяка стъпка е половината от предишния? Да предположим, че два метра от вратата, първата стъпка по-близо до около половината път, а в следващия - марката на три четвърти, а след петия, ще преодолеете почти 97% от пътя. Въпреки това, без значение колко стъпки сте направили нито, очакван резултат с вас, в строга математическа логика. Използването на числени пресмятания, ние можем да докажем, че в края на краищата може да бъде по-близо до произволно малък дадено разстояние. Това е еквивалентно на доказателства, показващи, че общата стойност на една втора, една четвърт, и така нататък. Д. ще са склонни да единство.

Въпросът за конвергенция: Второто пришествие, или инструмент на Лорд Келвин

Многократно се поставя въпросът в края на деветнадесети век, когато Фурие серия са се опитали да използват, за да се предскаже интензивността на приливите и отливите. По това време, лорд Келвин е изобретен устройство е аналогов компютър, който позволи на моряците флота и търговския флот монитор е природен феномен. Този механизъм определен набор от фази и амплитуди на височината на масата на приливите и съответните времеви моменти, внимателно измерва в пристанището през цялата година. Всеки параметър е синусоидална височини израз компонент на приливите и отливите и е един от редовните компоненти. Резултатите от измерването са вход към компютърно устройство Лорд Келвин, синтезиране крива, която прогнозира ръст на водата, като функция на следващата година. Много скоро, тези криви са изготвени за всички пристанища по света.

И ако този процес ще бъдат разбити прекъснат функция?

По това време, изглежда очевидно, че устройството предсказване приливна вълна, с много елементи на сметката може да се изчисли на голям брой фази и амплитуди, и така даде по-точна прогноза. Въпреки това, се оказа, че този модел не се наблюдава в случаите, когато приливна израза, който трябва да се синтезира, съдържащи се рязък скок, тоест, са прекъснати. В случай, че апаратурата за въвеждане на данни от таблица на времеви точки, то изчислява няколко коефициенти на Фурие. Възстановяване на оригиналната функция поради синусоидална компонент (в съответствие с установените коефициенти). Несъответствието между оригинала и реконструирания експресия може да бъде измерена при всяка точка. Когато изчисленията на повторни и сравнения могат да се видят, че стойността на най-голямата грешка, не се намалява. Въпреки това, те са локализирани в региона, съответстващ на точката на разкъсване, както и всяка друга точка клонят към нула. През 1899 г. този резултат бе потвърдено теоретично Джошуа Уилърд Гибс от Йейлския университет.

Сближаване на Фурие серия и развитието на математиката като цяло

анализ на Фурие не се прилага за изразяване съдържащи безкраен брой импулси в определен интервал. Като цяло Фурие серия, ако оригиналната функция е представена от резултата от реалните физически измервания, винаги се слеят. Въпросите, свързани с конвергенцията на този процес за конкретни класове функции са довели до нови клонове на математиката, като например теорията на общи функции. Тя е свързана с имена като Шварц, J .. Mikusiński и J. Temple. Съгласно тази теория, ясно и точно теоретична основа за такава експресия е установена като функция на Дирак делта (описва региона на една област, концентрира се под безкрайно съседство на точката) и "стъпка" Heaviside. Чрез тази работа Фурие серия започна да се прилага за решаване на уравнения и проблеми, които са свързани интуитивни понятия: точка зареждане, точка масови, магнитни диполи и концентриран товар върху гредата.

метод на Фурие

Фурие серия, в съответствие с принципите на смущения, започва с разлагането на сложни форми в прости. Например, промяна на топлинния поток се дължи на преминаването му през различните бариери на топлоизолационен материал с неправилна форма или промяна на земната повърхност - земетресение, промяна в орбитата на небесно тяло - влиянието на планетите. Обикновено тези уравнения описват прост класическа система елементарен решени за всяка отделна дължина на вълната. Фурие показва, че простите решения могат да бъдат обобщени, както за по-сложни задачи. На езика на математиката, Фурие серия - методика за подаване на изразяване сума от хармонична - косинус и задължително вълни. Ето защо, този анализ е известен също под името "хармоничен анализ".

Редове на Фурие - идеален начин за "компютър-годишна възраст"

Преди създаването на компютърните технологии метод на Фурие е най-доброто оръжие в арсенала на учени, които работят с вълна природата на нашия свят. Редове на Фурие в сложна форма ви позволява не само да се реши прости проблеми, които са податливи на прякото прилагане на законите на механиката на Нютон, но и основните уравнения. Повечето от откритията на Нютоновата наука на ХIХ век стана възможно само благодарение на метода на Фурие.

Редове на Фурие днес

С развитието на преобразуване на Фурие компютри са се повишили до ново ниво. Тази техника е здраво установени в почти всички области на науката и техниката. Като пример, цифров аудио и видео. Нейното изпълнение е станало възможно само благодарение на теорията, разработена от френския математик от началото на деветнадесети век. По този начин, Фурие серия в сложна форма е позволила да направи пробив в изследването на космоса. Освен това се отразява на изучаването на физиката на полупроводникови материали и плазма, микровълнови акустика, океанография, радар, сеизмология.

серия тригонометрични Фурие

В математиката, а редовете на Фурие е начин за представяне на произволни сложни функции като сума от по-прости. В общи случаи, броят на изразяване може да бъде безкраен. Най-голям брой брои при изчисляване се получава по-точно на крайния резултат. Най-честата употреба на прости тригонометрични косинус или задължително функция. В този случай, Фурие серия се нарича тригонометрични и решението на такива изрази - хармонична разлагане. Този метод има важна роля в областта на математиката. На първо място, на тригонометрични серия осигурява средства за картинката, както и изследването на функции, това е основната единица на теорията. В допълнение, той ни дава възможност за решаване на редица проблеми в математическата физика. И накрая, тази теория е допринесъл за развитието на математически анализ, е довело до редица много важни клонове на математическата наука (теория на интеграли, теорията на периодични функции). В допълнение, отправна точка за развитието на следните теории: комплекти, функциите на една реална променлива, функционален анализ, а също и положиха основите за хармоничен анализ.