Сумата от кубовете и тяхната разлика: формули за намалено умножение

Математиката е една от тези науки, без която съществуването на човечеството е невъзможно. Почти всяко действие, всеки процес включва използването на математиката и нейните елементарни действия. Много велики учени са положили големи усилия да направят тази наука по-лесна и по-разбираема. Различните теореми, аксиоми и формули позволяват на учениците да възприемат по-бързо информацията и да прилагат знанията на практика. Повечето от тях обаче се запомнят през целия си живот.

Най-удобните формули, които позволяват на студентите и студентите да се справят с гигантски примери, фракции, рационални и ирационални изрази са формули, включително съкратено умножение:

1. суми и разлики на кубчета :

S ³ - t ³ - разлика;

K ³ + l ³ е сумата.

2. Формулата на куба на сумата, а също и куба на разликата:

(F + g) ³ и (h-d) ^3;

3. разлика на квадратите:

Z ² - v ² ;

4. Квадратът на сумата:

(N + m) ² и т.н.

Формулата на сумата от кубовете е почти най-трудната за запомняне и възпроизвеждане. Причината за това е редуващи се знаци в нейното декодиране. Те са неправилно написани, объркващи с други формули.

Сумата от кубовете се разширява, както следва:

K ³ + 1 ³ = (k + 1) * (k ² - k * 1 + 1 ² ).

Втората част на уравнението понякога се бърка с квадратичното уравнение или разширеното изражение на квадрата на сумата и се добавя към втория термин, а именно "k * l" номер 2. Въпреки това формулата сумата от кубовете се разкрива само така. Нека докажем равенството между дясната и лявата част.

Нека да вървим обратно, т.е. ще се опитаме да покажем, че втората половина (k + l) * (k ² - k * l + l ² ) ще бъде равна на израз k ³ + l ³ .

Разширяваме скобите, умножавайки сумите. За да направите това, първо умножете "k" с всеки термин от втория израз:

K * (k ² - k * 1 + k ² ) = k * 1 ² - k * (k * 1) + k * ( ¹² );

Тогава по същия начин изпълняваме действие с неизвестно "l":

L * (k ² - k * 1 + k ² ) = 1 * k ² - 1 * (k * 1) + 1 * ( ¹² );

Опростяваме резултантното изразяване на формулата, сумата от кубовете, отваряме скобите и в същото време добавяме следните термини:

(К3 - k ² * 1 + k * 1 ² ) + (1 * k ² - 1 ² * k + ¹³ ) = K3 - k2l + kl2 + Lk ² - lk ² + l ³ = k ³ - k ² l + k ² l + kl ² - kl ² + l ³ = k ³ + l ³ .

Този израз е равен на оригиналната версия на формулата сумата от кубовете и това е, което искахме да покажем.

Нека намерим доказателство за израза s ³ - t ³ . Тази математическа формула на намалено умножение се нарича разликата между кубовете. Тя се описва, както следва:

S ³ - t ³ = (s - t) * (s ² + t * s + t ² ).

По същия начин, както в предишния пример, ние доказваме кореспонденцията между дясната и лявата част. За да направите това, разширяваме скобите, умножавайки термините:

За неизвестното "s":

S * (s ² + s * t + t ² ) = (s ³ + s ² t + st ² );

За неизвестното "t":

T * (s ² + s * t + t ² ) = (s ² t + st ² + t ³ );

Когато преобразуваме и разширяваме скобите на дадена разлика, получаваме:

S ³ + s ² t + st ² - s ² t - s ² t - t ³ = s ³ + s ² t s ² t - st ² + st ² - t ³ = s ³ - t ³ - докаже.

За да се запомни кои знаци се поставят при отварянето на такъв израз, е необходимо да се обърне внимание на знаците между термините. Така че, ако една неизвестна е отделена от друга чрез математически символ "-", тогава в първата скоба ще има минус, а втората - две плюсове. Ако има знак "+" между кубовете, тогава, съответно, първият фактор ще съдържа плюс, а вторият минус, а след това плюс.

Това може да бъде представено под формата на малка схема:

S ³ - t ³ → ("минус") * ("плюс" "плюс");

K ³ + l ³ → ("плюс") * ("минус" "плюс").

Помислете за пример:

Изразява се изразът (w - 2) ³ + 8. Необходимо е да се отварят скобите.

решение:

(W - 2) ³ + 8 могат да бъдат представени във формата (w - 2) ³ + 2 ³

Съответно, като сума от кубове, този израз може да бъде разложен според формулата на съкратеното умножение:

(W - 2 + 2) * ((w - 2) ² - 2 * (w-2) + 2 ² );

След това опростяваме израза:

W * (w ² - 4w + 4 - 2w + 4 + 4) = w * (w ² - 6w + 12) = w ³ - 6w ² + 12w.

Освен това първата част (w - 2) ³ може също да се разглежда като куб на разликата:

(H - d) ³ = h ³ - 3 * h ² * d + 3 * h * d ² - d ³ .

След това, ако го отворите с тази формула, получавате:

(W - 2) ³ = w ³ - 3 * w ² * 2 + 3 * w * 2 ² - 2 ³ = w 3-6 * w ² + 12w - 8.

Ако добавим към него втората част на оригиналния пример, а именно "+8", резултатът ще бъде както следва:

(W - 2) ³ + 8 = w ³ - 3 * w ² * 2 + 3 * w * 2 ² - 2 ³ + 8 = w 3-6 * w ² + 12w.

По този начин намерихме решението на този пример по два начина.

Необходимо е да запомните, че усърдието и вниманието са ключът към успеха във всеки бизнес, включително при решаването на математически примери.