Булева алгебра. алгебра на логиката. Елементи на математическата логика

В днешния свят ние все по-често с помощта на различни машини и приспособления. И не само, когато е необходимо да се прилага буквално свръхчовешка сила: преместване на товара, за да го вдигне на височината, копаят дълъг и дълбок ров, и т.н. Автомобили днес събират роботи, храна се приготвя Multivarki и елементарни аритметични изчисления произвеждат калкулатори ... Все по-често чуваме фразата "Булева алгебра". Може би е дошло време да се разбере ролята на човека в създаването на роботи и машини способността за решаване не само математически, но и логически задачи.

логика

В гръцката логика - подредена система на мислене, който създава връзката между дадените условия и ви позволява да правите изводи, основаващи се на предположения и приблизителни оценки. Доста често, ние питаме един друг: "Логично е да се" Отговорът потвърждава нашите предположения или критикува ред на мисли. Но процесът не спира дотук: ние продължаваме да говорим.

Понякога броят на условия (вход) е толкова голяма, както и отношенията между тях е толкова объркващо и сложно, че човешкият мозък не е в състояние да "смила" всички наведнъж. Може да се наложи повече от един месец (седмица, година) за разбирането на това, което се случва. Но съвременния живот не ни дава тези времеви интервали, за да вземат решения. И ние се прибегне до помощта на компютри. И тя е тук, че е налице алгебра и логика, със своите закони и свойства. След като изтеглите всички от първоначалните данни, ние позволи на компютъра да признае всички взаимоотношения, да се премахнат противоречията и да се намери задоволително решение.

Математика и логика

Известни Готфрид Vilgelm Leybnits формулирани понятието "математическа логика", кои задачи са лесни за разбиране само малък кръг от учени. От особен интерес е посоката не е причинил, а до средата на ХIХ век на математическата логика, известен с някои от тях.

Големият интерес в научните среди е причинил спор, в който англичанин Dzhordzh Бул заяви намерението си да учреди клон на математиката, без да има абсолютно никаква практическа полза. Както знаем от историята, по това време активно се развива промишленото производство, ние разработихме всички видове помощни машини, т. Е. Всички научни открития са имали практическа насоченост.

Гледайки напред, ние казваме, че булева алгебра - най-използваните в света днес част от математиката. Така че аргументите ви Бул губи.

Dzhordzh Бул

Личността на автора заслужава специално внимание. Дори и като се има предвид факта, че в миналото хората са израснали пред нас, все още трябва да се отбележи, че през 16-те години на Джон. Бул преподава в местното училище, а до 20 години отвориха своя школа в Линкълн. Математик перфектно усвоили пет чужди езика, а в свободното си време, чете произведенията на Нютон и на Лагранж. И всичко това - на сина обикновен работник!

През 1839 г., Бул изпрати първите си научни статии в Кеймбридж Математически вестник. Учен се обърна на 24 години. работа Бул е толкова заинтересовани членове на Кралското дружество, през 1844 г. той получи медал за приноса му към развитието на математически анализ. Описани са няколко публикации, в които елементите на математическата логика, математика допускат младите да заеме поста на професор в Колежа на графство Корк. Спомнете си, че в самото Бул образование не е било.

идея

По принцип Булева алгебра е много проста. Има твърдения (логически изрази), които, от гледна точка на математиката на, може да се определи само с две думи: "вярно" или "невярно". Например, дървета през пролетта разцвет - истината, през лятото вали сняг - една лъжа. Красотата на математиката е, че тя не е абсолютно необходимо да се използва само цифри. За решенията по алгебра отговарят съвсем точно всякакви изявления, с уникална значение.

По този начин, алгебра на логиката може да се използва буквално навсякъде: в график и писане на инструкцията, анализ на противоречива информация за събитията и определянето на последователността от действия. Най-важното нещо - да се разбере, че няма значение как определяме истинността или неистинността на отчети. От тези "как" и "защо", което трябва да се игнорира. Важното е само констатация на факт: истината е лъжа.

Разбира се, програмиране на най-важните функции на алгебра на логиката, които са записани с подходящи знаци и символи. И да ги научат - това означава да научат нов чужд език. Нищо не е невъзможно.

Основни понятия и определения

Без да навлизаме в дълбочина, ние се справят с терминология. Така че, Булева алгебра предполага:

• отчети;
• логически операции;
• функции и закони.

Отчети - всеки положителен израз, който може да се интерпретира по два-ценен. Те са написани като номера (5> 3) или формулирани познати думи (слон - най-голямата бозайника). В този случай, фразата "врата на жирафа не е" също има право да съществува, само Булева алгебра го определи като "лъжа".

Всички отчети трябва да бъдат недвусмислени, но те могат да бъдат основно или съединение. Последно ползване логично пакет. E. В съединение алгебра отчети решения образува чрез прибавяне на елементарни логически операции.

Булеви операции алгебра

Ние вече не забравяйте, че операциите в алгебрата на съдебни решения - логично. Точно както алгебрата на номера с помощта на аритметични операции за събиране, изваждане, както и да сравнявате числа, математически логически елементи позволяват да се направи сложни отчети, да откаже или да се изчисли крайният резултат.

Логически операции за формализирането и простотата изразена чрез формулата, познат ни по аритметика. Свойства на Булева алгебра уравнения дават възможност за записване и изчисляване на непознатото. Логическите операции обикновено се записват от масата за истина. Елементите му определят колони и експлоатация компютри, които се извършват в тях, а редовете показват резултатите от изчисленията.

Основна логика на действие

Най-често в операциите на Булева алгебра са отрицание (НЕ) и логично и и OR. Така че е възможно да се опише практически всички стъпки по алгебра присъди. Изследвахме подробно всяка една от трите операции.

В отрицание (не) се нанася само един елемент (операнд). Поради това, операцията се нарича едноместно отрицание. За да запишете на понятието "не", използващи такива символи: ¬A, А или А !. В табличен вид тя изглежда така:

Функцията на отказ типично за такова изявление: ако е вярно, тогава A - е лъжа. Например, Луната се върти около Земята - истината; Земята се върти около Луната - една лъжа.

Логически умножение и допълнение

Логическа операция И се нарича връзка. Какво означава това? На първо място, че да може да се прилага за два операнда, т.е., аз - .. Binary работа. На второ място, това е само в случай на истината и двата операнда (и двете А и Б) е вярно и за самия израз. Поговорката: "Търпението и малко усилие" означава, че само два фактора могат да помогнат на човек да се справи с трудностите.

символи се използват за записване: A∧B, A⋅B или A && Б.

Конюнкция е подобен на умножение по аритметика. Понякога и да каже - логично умножение. Ако умножите елементите на редовете на таблицата, получаваме резултат, подобен на логическото мислене.

Дизюнкция е логическа операция ИЛИ. Вярно е, ако поне едно от твърдения е вярно (или А или В). Писано е по този начин: A∨B, A + B или A || Б. таблицата на истината за тези операции, са:

Разделение подобна аритметика допълнение. логическа операция допълнение има само един ограничение: 1 + 1 = 1. Но ние не забравяйте, че в цифров формат, се ограничава до математическата логика 0 и 1 (където 1 - истината, 0 - невярно). Например, твърдението, че "в музея може да се види шедьовър или да намерите добра компания" означава това, което можете да видите произведения на изкуството, както и че е възможно да се срещнат един интересен човек. В същото време, че не изключва възможността за едновременно изпълнение на двете събития.

Функции и закони

Така че, ние вече знаем какво логическата операция, изпълнена с Булева алгебра. Функции описват всички свойства на елементите на математическата логика, и ни позволяват да опрости сложните съставни твърдения. Най-ясен и прост изглежда отхвърляне собственост на операциите на деривати. Под производни се разбират XOR, отражение и еквивалентност. Както сте прочели само с основните операции, а след това на имота е също само ги разгледа.

Асоциативност означава, че в изявленията като "двете А и Б, както и B 'последователност списък на операнди не е от значение. Формулата е написано, както следва:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Както можете да видите, че това не е уникален за съюза, но дизюнкция.

Commutativity твърди, че в резултат на съюза или дизюнкцията не зависи от коя вещ се счита в самото начало:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity позволява да разкрива скоби в сложни логически изрази. Правилата са подобни на скобите на отвор в размножаването и добавянето в алгебра:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Единичните свойства и надраскване, което може да бъде един от операндите също са подобни на алгебрични размножаването от нула или едно и добавяне на единица:

A∧0 = 0, = A∧1 А; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency ни казва, че ако относително две равни операнди в резултат на операцията е същата, можете да "хвърлят" на излишните усложни разсъждение операнди. И операции съюзът и дизюнкция са idempotent.

B∧B = В; B∨B = Б.

Придобиване също ни позволява да се опрости уравнението. Абсорбцията се посочва, че когато изразът се нанася един операнд, друга операция с един и същ елемент на операнда резултат поглъща работа.

A∧B∨B = В; (A∨B) ∧B = Б.

последователност от операции

Последователността на операциите е от голямо значение. Всъщност, като за алгебра, има приоритет функция, която използва Булева алгебра. Формули могат да бъдат опростени, но така, значението на операциите. Класация на най-значимите за незначителен, получаваме следната последователност:

1. отказ.

2. Конюнкция.

3. дизюнкцията, XOR.

4. Изводът, равностойност.

Както можете да видите, само отрицание на съюза и нямат равен приоритет. Приоритет на дизюнкцията и XOR са равни, както и приоритетите на отражение и равностойност.

Функции на отражение и еквивалентност

Както казахме, в допълнение към основните логически операции, математическа логика и теория на алгоритмите, използващи производни. Това най-често е последица и еквивалентност.

Изводът или логично следствие - това изявление, в което едно действие е състояние, а другият - в резултат на неговото прилагане. С други думи, това предложение с претекста за "ако ... тогава". "След вечеря идва равносметката." Д. За шофиране да се затяга на шейна хълма. Ако няма желание да се движи надолу от планината, а след това плъзнете шейната не е необходимо. Така пише: A → B или A⇒B.

Еквивалентност означава, че нетният ефект се наблюдава само когато и двата операнда са верни. Така например, през нощта дава път на ден след това (и само тогава), когато слънцето изгрява над хоризонта. На езика на математическата логика на това твърдение е написано като A≡B, A⇔B, A == Б.

Други закони на булевата алгебра

преценка Алгебра развива, както и много заинтересовани учени да формулират нови закони. Най-известният се считат постулира шотландски математик О. Де Морган. Той забелязал, и даде определение за такива свойства като близо отрицание, допълнение и двоен отрицателен.

Затвори отказ предполага, че преди скобите се отрече: не (А или В) = не А или В. НЕ

Когато операнда е отказан, независимо от неговата стойност, да кажем около допълнение:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

И накрая, самият двойно отрицание компенсира. Т.е. преди или операнд отрицание изчезва или остава само един.

Как да решим тестове

Logic предполага опростяване предварително определен уравнения. Точно като по алгебра Лъжата, че е необходимо да се улесни максимално първи състояние (да се отърве от сложни операции, входни, а заедно с тях), а след това започнете да търсите за правилен отговор.

Какво да направя, за да се опрости? Конвертиране на всички производни на една проста операция. След разкрие всички скоби (или обратно, да скобите да се намали този елемент). Следващата стъпка трябва да се използват булеви алгебра свойства в практиката (абсорбционни свойства нула и единица, и т.).

В крайна сметка, уравнението трябва да се състои от минимален брой неизвестни, комбинирани с прости операции. Най-лесният начин да се търси решение, ако направите голям брой близки негативи. Тогава отговорът ще се появи като че ли от само себе си.