Производното на синуса на ъгъла е равна на косинуса на същия ъгъл

Dana прост тригонометрия функция у = Sin (х) е диференцируема при всяка точка от цялата област. Трябва да се докаже, че производното на синуса на всеки аргумент е равна на косинуса на същия ъгъл, т.е. '= Cos (х).

Доказателството се основава на определението за дериватив функция

Ние дефинираме х (произволни) в някои малки съседство на определена точка х ьН _0. Ще покажем, стойността на функцията в него, а в точка Х, за да намерите най-тънката дадена функция. Ако ьН - аргумент увеличава, новият аргумент - тази х ₀ + Δx = х, стойността на тази функция за дадена стойност на аргумента (х) е равен Sin (х ₀ + Δx), стойността на функция в определена точка (х ₀₎ също е известен ,

Сега трябва Δu = Sin (х ₀ + ьН) -Sin (х ₀₎ - получава функция увеличение.

Според формулата на задължително сума от две неравни ъгли ще преобразуваме разликата Δu.

Δu = Sin (х ₀₎ · Cos (АН) + Cos (х ₀₎ · Sin (Δx) минус Sin (х ₀₎ = (Cos (Δx) -1 ) · Sin ( х ₀₎ + Cos (х ₀₎ · Sin (АН).

Извършени пермутация отношение групирани първа до трета Sin (х _0), извадени общ фактор - задължително - скобите. Ние получена в експресионен Cos разлика (АН) -1. Тя наляво, за да смените знака пред скобите и скоби. Знаейки това, което е на 1-Cos (АН), да извършим промяната и да получи опростен израз Δu, която след това се разделя на АН.
Δu / ьН ще има формата: Cos (х ₀₎ · Sin (АН) / ьН 2 · Sin ² (0.5 х ьН) · Sin (х ₀₎ / ьН. Това е съотношението на нарастване на функцията за допускане до нарастване на аргумента.

Остава да се намери границата на съотношенията от нас по време на Лим АН, с тенденция към нула.

Известно е, че границата Sin (АН) / Δx е равно на 1, при условие. И експресията 2 · Sin ² (0.5 х ьН) / ьН в получените суми специално трансформации до продукт, съдържащ като първо множител забележителен граница: числителя на фракция и znemenatel разделение на от 2 квадрата на синуса замени продукт. Ето как:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
Границата на този израз, когато ьН клони към нула, ще бъде равен на броя на нула (0 умножена по 1). Оказва се, че границата на съотношението Δy / ьН е Cos (х ₀₎ · 1-0, това се Cos (х _0), експресията на който е независим от ьН тенденция към 0. заключение: производното на синуса на всеки ъгъл е равна на х косинус на х, могат да бъдат написани като: Y '= Cos (х).

Получената формула в масата на известните производни, при които всички елементарни функции е вписана

В решаването на проблемите, където се среща с производната на синуса, можете да използвате правилата на диференциация и готови формули на масата. Например: намерите производно на простата функция у = 3 · Sin (х) -15. Ние използваме най-елементарни правила деривация отстраняване числен фактор за знака на производната и изчисляване на производни постоянен брой (което е нула). Прилагане задължително маса стойност на производното на ъгъла х равно Cos (х). Получаване на отговора: Y '= 3 · Cos (х) -О. Това производно, от своя страна, също е елементарен функция Y = H · Cos (х).

Производното на синус квадрат на всеки аргумент

При изчисляване на израза (Sin ² (х)) "трябва да помним, как диференцирана сложна функция. Така че, ² = Sin (х) - е функция на властта като задължително на квадрат. аргумент му е и тригонометрични функции, сложен аргумент. Резултатът в този случай е равна на произведението на първия мултипликатор е квадрат на комплекс производно на аргумента, а втората - на производно на синус. Ето правилото за диференциране на функция от функция: (ф (V (х))) "е (ф (V (х)))" · (V (х)) ". Експресия на о (х) - комплекс аргумент (вътрешна функция). Ако дадена функция "у е равно на синус квадрат х", тогава производното на този композитен функция е Y '= 2 · Sin (х) · Cos (х). Продуктът на първия мултипликатор два пъти - производно известно експоненциална функция, и Cos (х) - производно синус комплекс аргумент на квадратна функция. Крайният резултат може да се трансформира чрез използване на формулата на тригонометрични синуса на ъгъла двойно. A: производно е Sin (2 · х). Тази формула е лесно да се помни, тя често се използва във вид на таблица.