Свойствата на логаритмите или изненадващите ...

Необходимостта от изчисление се появи в даден човек веднага, щом той успя да даде количествена оценка на околните предмети. Може да се приеме, че логиката на количествената оценка постепенно е довела до необходимостта от изчисления като "добавяне-изваждане". Тези две елементарни действия са първоначално основни - всички други манипулации с числа, известни като размножаване, разделяне, експоненциране и т.н. - това е просто "механизация" на някои изчислителни алгоритми, базирани на най-простата аритметика - "add-subtract". Каквото и да е било, но създаването на алгоритми за изчисление е голямо постижение на мисълта и техните автори завинаги оставят своя белег в паметта на човечеството.

Преди шест или седем века в областта на морската корабоплаване и астрономията се увеличаваше нуждата от големи изчисления, което не е изненадващо, защото Средновековието е известно за развитието на корабоплаването и астрономията. В точно съответствие с фразата "нуждата генерира изречение" на няколко математици, идеята изчезна - да замени много трудолюбивата операция на умножаване на две числа чрез просто добавяне (идеята за заместване на разделянето чрез изваждане се разглеждаше по два начина). Работната версия на новата изчислителна система е изложена през 1614 г. в работата на Джон Напиер с много забележителното заглавие "Описание на невероятната таблица на логаритмите". Разбира се, по-нататъшното развитие на новата система продължи, но основните свойства на логаритмите бяха изложени от Neper. Идеята за изчислителна система, използваща логаритми, е, че ако серия от числа формира геометрична прогресия, тогава логаритмите им също така представляват прогресия, а аритметична. При наличието на предварително съставени таблици нова изчислителна техника опрости изчисленията, а първият логаритмичен владетел (1620 ) стана може би първият и много ефективен калкулатор, незаменим инженер.

За пионери пътят винаги е неравен. Първоначално основата на логаритъма е взета безуспешно и точността на изчисленията не е била висока, но още през 1624 г. бяха публикувани преработените таблици с десетична база. Свойствата на логаритмите произтичат от същността на дефиницията: логаритъмът на числото b е числото С, което като база на логаритъма (числото А) води до числото b. Класическият вариант на влизането изглежда така: logA (b) = C - какво се чете по този начин: логаритъм b, на базата на А, е числото C. За да изпълнявате действия, използващи не съвсем обикновени логаритмични числа, трябва да знаете определен набор от правила, известни като " Логаритми ". По принцип всички правила имат общо значение - как да се добавят, изваждат и трансформират логаритмите. Сега ще се научим как да го направим.

Логаритмична нула и единица

1. logA (1) = 0, логаритъмът на числото 1 се равнява на 0 по каквато и да е причина - това е пряка последица от повишаването на числото до нулева мощност.

2. logA (A) = 1, логаритъмът на същото число с базата е 1 е добре известна истина за всяко число в първата степен.

Добавяне и изваждане на логаритми

3. logA (m) + logA (n) = logA (m * n) - сумата от логаритмите на няколко номера е равна на логаритъма на техния продукт.

4. logA (m) - logA (n) = logA (m / n) - разликата между логаритмите на числата, подобно на предишната, е равна на логаритъма на съотношението на тези номера.

5. logA (1 / n) = - logA (n), логаритъмът на обратното число е равен на логаритъма на това число със знак минус. Лесно е да се види, че това е резултат от предишния израз 4 за m = 1.

Лесно е да се види, че правилата 3-5 предполагат в двете части на равнопоставеността същата база на логаритъма.

Експонентите в логаритмични изрази

6. logA (mn) = n * logA (m), логаритъмът на числото n е равен на логаритъма на това число, умножен с експонент със степен n.

7. log (Ac) (b) = (1 / c) * logA (b), който се чете като "логаритъмът на числото b, ако базата има формата Ac, е равна на продукта на логаритъма b с основата А и обратната на c".

Формулата за промяна на основата на логаритъма

8. logA (b) = logC (b) / logc (A), логаритъмът на числото b с основа А при преминаване към база С се изчислява като частичен логаритъм b с база С и логаритъм с база С на числото равно на предишната база А и С знак минус.

Горепосочените логаритми и техните свойства правят възможно, с правилното им приложение, да се опрости изчисляването на големите цифрови масиви, като по този начин се намалява времето на числовите изчисления и се осигурява приемлива точност.

Не е изненадващо, че в науката и технологиите свойствата на логаритмите на числата се използват за по-естествено представяне на физическите феномени. Например, широко е известно да се използват относителните стойности - децибели за измерване на интензивността на звука и светлината във физиката, абсолютната звездна величина в астрономията, рН в химията и т.н.

Ефективността на логаритмичните изчисления е лесно да се провери, ако се вземе например, и се умножат 3 петцифрени числа "ръчно" (в колона), като се използват таблици на логаритмите върху лист хартия и се използва логаритмичен владетел. Достатъчно е да се каже, че в последния случай изчисленията ще отнемат около 10 секунди. Най-учудващо е, че в модерен калкулатор тези изчисления няма да отнеме по-малко време.