Реални числа и техните свойства

Питагор твърди, че броят е в основата на света на едно ниво с основните елементи. Платон смята, че броят на връзките на явлението и ноумен, което помага да се знае, да се съпоставят и да се направят изводи. Аритметика идва от думата "arifmos" - броя, отправната точка в областта на математиката. Възможно е да се опише всеки обект - от основни за ябълкови абстрактни пространства.

Има нужда като фактор за развитие

В началните етапи на развитие на обществото на нуждите на хората са ограничени от необходимостта да се поддържат резултат - .. Една чанта на зърно, две зърно чанта и т.н. За да направите това, той е естествените числа, множеството от които е безкрайна поредица от положителни числа N.

По-късно, развитието на математиката като наука, е било необходимо в конкретната област на числа Z - тя включва отрицателни стойности и нула. Неговата поява на национално равнище, то е провокирано от факта, че първоначалното отчитане трябваше по някакъв начин да се определи дълговете и загубите. На научно ниво, отрицателни числа са направили възможно за решаване на прости линейни уравнения. Наред с другите неща, сега е възможно да се образ тривиална координатна система, т.е.. А. Имаше отправна точка.

Следващата стъпка беше необходимостта да въведете дробни числа, тъй като науката не стои на едно място, все повече и повече нови открития поискаха теоретична основа за нов растеж тласък. Така че е имало поле на рационални числа Q.

Накрая, вече не отговарят на изискванията на рационалност, защото всички нови открития изискват оправдание. Имаше поле на реалните числа R, произведенията на несъизмеримост на определени количества, защото на тяхната ирационалност на Евклид. Това означава, че на древногръцкия математик позиционира не само номера, както е константа, а като абстрактна величина, която се характеризира с отношението на несъизмерими величини. Поради факта, че там са реални числа, "видяхме светлина" стойности, като "пи" и "д", без които съвременната математика не може да са се случили.

Крайният нововъведение е комплексно число С. Той отговори на поредица от въпроси и опроверга предварително въведени постулати. Благодарение на бързото развитие на алгебра резултат е била предвидима - с реални числа, решението на много проблеми не е било възможно. Например, благодарение на комплексни числа се открояваше струнната теория и хаос разширява уравнения на хидродинамиката.

Теория на множествата. кантор

Концепцията за безкрайност винаги е предизвиква доста спорове, тъй като е невъзможно да се докажат или опровергаят. В контекста на математиката, която се управлява стриктно проверени постулати, това се проявява най-очевидно, толкова повече, че богословски аспект все още претегля в областта на науката.

Въпреки това, чрез дейността на математик Георг Кантор всички времена си дойде на мястото. Той доказа, че безкрайните множества има безкраен набор, както и че на полето R е по-голяма, отколкото на полето N, нека и двамата и нямат край. В средата на ХIХ век, неговите идеи публично нарича глупост и престъпление срещу класическите канони неизменни, но времето ще постави всичко на мястото си.

Основни свойства на поле R

Действителни цифри, не само имат същите характеристики като podmozhestva, че те включват, но се допълват от други masshabnosti по силата на неговите елементи:

• Нула R. съществува и принадлежи към област C + = С 0 за всеки в на R.
• Нула съществува и принадлежи към поле R. С, х 0 = 0 за всеки в на R.
• С. съотношение: г когато г ≠ 0 съществува и е валиден за всяко С, D на R.
• Поле R подредени, т.е. ако в ≤ D, D ≤ С, след това с = г за всеки С, D на R.
• Добавянето в областта R е комутативен, т.е. в + г = D + C, за всяко С, D на R.
• Умножение в полето R е комутативен, т.е. х в х г = г в за всички С, D на R.
• Добавянето в областта R е асоциативен т.е. (в + г) + е = С + (D + е) за всяко С, D, Е от R.
• Умножение в полето R е асоциативен т.е. (с х г) X е = С (х г х е) за всяко С, D, Е от R.
• За всеки брой поле R противоположно на това там, така че в + (-С) = 0, където С, -С от R.
• За всеки брой поле R съществува си обратен, така че в х в ^-1 = 1, където С, С ^-1 на R.
• Единица съществува и принадлежи към R, така че в х 1 = С, за всякакви С на R.
• Той има разпределение на мощност право, така че в х (D + F) = C х D + C х е, за всяко С, D, Е от R.
• Полето R е равна на нула не е равно на единство.
• Поле R е преходен: ако в ≤ D, D ≤ F, след това в ≤ е за всеки С, D, Е от R.
• С цел на R и допълнение са свързани помежду си: ако в ≤ г, след това в + е ≤ г + F за всички С, D, Е от R.
• В определението на R и умножение свързан: ако 0 ≤ С, 0 ≤ г, след това 0 ≤ в х г за всеки C, D на R.
• Като отрицателни и положителни реални числа са непрекъснати, т.е., за всяко С, D на R е съществува от R, че в ≤ е ≤ г.

област модул R

Реалните числа включват такова нещо като модул. го определя като | F | за всеки е в Р. | F | = F, ако 0 ≤ е и | е | = -f, ако 0> е. Ако ние считаме модула като геометрична стойност, тя е на разстояние - това няма значение ", предава" Вие като нула в отрицателния към положителния или напред.

Сложни и реални числа. Какви са приликите и разликите?

Като цяло, сложни и реални числа - те са едни и същи, с изключение на това, че първият се присъедини към въображаем единица аз, площада на който е равен на 1. Елементи полета R и С може да бъде представен чрез следната формула:

• с = г + F х I, където D, F принадлежат към полето R, и аз - имагинерна единица.

За да получите най век на R е в този случай просто приема за нула, т.е., има само реалната част на номера. Тъй като областта на комплексни числа има същия набор от функции като областта на реално, е х I = 0, ако F = 0.

По отношение на практически различия, например в областта R квадратно уравнение не може да бъде решен, ако дискриминантата е отрицателна, а полето за C не налага това ограничение чрез въвеждане на въображаемия единица аз.

резултати

"тухли" на аксиоми и постулира, на чиято основа математика, не се променят. На някои от тях се дължи на увеличаване на информацията и въвеждането на нови теории поставят следните "тухли", които в бъдеще могат да станат основа за следващата стъпка. Така например, естествени числа, независимо от факта, че те са подмножество на недвижими поле R, не губят своята актуалност. Това е, за да ги основа на всички елементарни аритметични, който започва със знанието на човек на мира.

От практическа гледна точка, реалните числа изглеждат като права линия. Възможно е да се избере посока, за да установят произхода и терена. Директно се състои от безкраен брой точки, всяка от които отговаря на един-единствен реално число, независимо от това дали или не рационално. От описанието става ясно, че става дума за концепцията, която се основава на математиката като цяло, и математически анализ в частност.