В неопределен интеграл. Изчисляване на неопределени интеграли

Една от основните раздели на математически анализ е интегрално смятане. Тя обхваща много широка област на обекти, където първият - това е най-Неопределен интеграл. Позиция тя стои като ключ, който е все още в гимназията, разкрива все повече перспективи и възможности, които са описани по-високи математика.

вид

На пръв поглед това изглежда напълно неразделна част от модерна, достъпна, но на практика се оказва, че той се върна през 1800 г. преди новата ера. Начало на официално счита Египет като не се свържете с нас по-рано доказателства за неговото съществуване. Това се дължи на липсата на информация, като през цялото време позициониран просто като явление. Той още веднъж потвърждава нивото на научното развитие на народите на тези времена. И накрая, произведенията са открити древногръцките математици, датираща от 4 век преди новата ера. Те описват използвания метод, където неопределен неразделна, същността на което е да се намери на обема или областта на криволинейна форма (триизмерна и двумерен равнина, съответно). изчисление се основава на принципа на разделение на оригиналната фигура в безкрайно малки компоненти, при условие, че обемът (област) вече е известно за тях. С течение на времето, методът е нараснал, Архимед го използва, за да се намери областта на парабола. Подобни изчисления в същото време за провеждане на учения в древен Китай, където те са били напълно независими от гръцки колега наука.

развитие

На следващия пробив в XI век преди новата ера се превърна работата на арабския учен "комби" Абу Али ал-Басри, който избута границите на вече известни, са били получени от интегралната формула за изчисляване на сумите на сумите и степени от първия до четвъртия, кандидатстващи за този известен за нас индукция метод.
Умовете на днес се възхищава от древните египтяни създали невероятни паметници без никакви специални инструменти, с изключение на тази на свои ръце, но не е сила, луди учени от не по-малко от времето на чудо? В сравнение с настоящите времена на живота си изглежда почти примитивен, но решението на неопределени интеграли изведени навсякъде и да се използва в практиката за по-нататъшно развитие.

Следващата стъпка се състоя в XVI век, когато италианският математик Cavalieri донесе неделима метод, който вдигна Per Ферма. Тези две личност постави основите на модерната интегрално смятане, който е известен в момента. Вързаха концепциите за диференциация и интеграция, които преди това са били разглеждани като самостоятелни единици. Като цяло, математиката на онова време беше разпокъсани частици съществуват констатации от себе си, с ограничена употреба. Начин да се обединят и да намерят общ език е единственият истински в момента, благодарение на него, модерният математическия анализ имаха възможност да расте и да се развива.

С течение на времето променя всичко, така и пълният символ, както добре. Като цяло, той е бил определен учени, които по свой собствен начин, например, Нютон, използвани икона на квадрат, което сложи интегрируеми функция, или просто да се съберат. Това несъответствие е продължило до XVII век, когато ориентир за цялата теория на математически анализ учен Готфрид Leybnits въведен такъв характер ни познати. Удължени "S" е действително на базата на това писмо от латинската азбука, тъй като означава сумата от примитиви. Името на интеграл, получена благодарение на Якоб Бернули, след 15 години.

Официалното определение

В неопределен интеграл зависи от дефиницията на примитивното, затова смятаме, че на първо място.

Antiderivative - е обратната функция на производното на практика той се нарича примитивна. В противен случай: примитивна функция на г - е функция D, който е производно о <=> V '= об. Търсене примитивно е да се изчисли неопределен интеграл, а самият процес се нарича интеграция.

например:

Функцията и (у) = Y ^3, и примитивен S (у) = (у ^4/4).

Наборът от всички примитиви на функцията - това е неопределен неразделна това означена както следва: ∫v (х) DX.

По силата на факта, че V (х) - са само някои примитивно оригиналната функция, експресиране притежава: ∫v (х) DX = V (х) + C, където С - постоянна. Под произволна константа се отнася до всяко постоянно, тъй като неговото производно е нула.

свойства

Свойствата притежавани от неопределен интеграл, основно на базата на определянето и свойства на производни.
Помислете за основните точки:

• неразделна производно на примитивни е самата плюс произволен постоянен С <=> ∫V примитивен "(х) DX = V (х) + С;
• производно на интеграла на функция е оригиналната функция <=> (∫v (х) DX) '= о (х);
• постоянно се изважда от под неразделна знак <=> ∫kv (х) DX = k∫v (х) DX, където к - е произволно;
• неразделна, която е взета от сумата на еднакво равна на сумата на интеграли <=> ∫ (обем (у) + w (у)) ди = ∫v (у) ди + ∫w (у) ди.

Последните две качества може да се заключи, че неопределен интеграл е линейна. Поради това, ние имаме: ∫ (кв (у) ди + ∫ лв (у)) ди = k∫v (у) ди + l∫w (у) ди.

За да видите примери за фиксиране решения неопределени интеграли.

Вие трябва да намерите неразделна ∫ (3sinx + 4cosx) DX:

• ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + С = 4sinx - 3cosx + C.

От примера можем да заключим, че не знаете как да се реши неопределени интеграли? Просто намерите всички примитиви! Но търсенето на принципите обсъдени по-долу.

Методи и Примери

За да се реши на интеграл, можете да прибегнете до следните методи:

• готови да се възползват от масата;
• интегриране по части;
• интегрирани чрез заместване на променливата;
• обобщаване под знака на диференциала.

маси

Най-прост и приятен начин. В момента, математически анализ може да се похвали доста широки маси, в която са изложени основната формула на неопределени интеграли. С други думи, има шаблони, получени от вас и можете да вземете само се възползват от тях. Ето списъка на основните позиции на маса, които могат да бъдат показани почти всеки случай, има решение:

• ∫0dy = С, където С - константа;
• ∫dy = Y + C, където С - константа;
• ∫y ^п ди = (у ^{п + 1)} / (п + 1) + C, където С - константа, и п - число, различни от единство;
• ∫ (1 / г) ди = LN | у | + C, където С - константа;
• ^{∫e у ди = д у + C} , където С - константа;
• ^{∫k Y = ди (к г /} LN к) + C, където С - константа;
• ∫cosydy = siny + C, където С - константа;
• ∫sinydy = -уютна + C, където С - константа;
• ∫dy / COS ² Y = tgy + C, където С - константа;
• ∫dy / грях ² у = -ctgy + C, където С - константа;
• ∫dy / (1 + у ²⁾ = arctgy + C, където С - константа;
• ∫chydy = срамежлив + C, където С - константа;
• ∫shydy = CHY + C, където С - постоянна.

Ако е необходимо, да направи няколко крачки доведе подинтегрален за оглед табличен и се наслаждавайте на победата. Пример: ∫cos (5х -2) DX = 1 / 5∫cos (5х - 2) г (5х - 2) = 1/5 х грях (5х - 2) + С

Според решението е ясно, че например една маса подинтегрален липсва множител 5. Ние го добавите в паралел с това се умножи по 1/5 до общ израз не се променя.

Интеграция чрез Части

Да разгледаме две функции - Z (у) и х (у). Те трябва да бъдат непрекъснато диференцируема на своя домейн. В едно диференциация свойства имаме: г (XZ) = XDZ + ZDX. Интегрирането на двете страни, получаваме: ∫d (XZ) = ∫ (XDZ + ZDX) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

Пренаписване на полученото уравнение, получаваме формулата, в който се описва метод за интегриране по части: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

Защо е необходимо? Фактът, че някои от примерите е възможно да се опростят, да кажем, за да се намали ∫zdx ∫xdz, ако последният не е в близост до таблична форма. Също така, тази формула може да се използва повече от веднъж, за оптимални резултати.

Как да решим неопределени интеграли по този начин:

• необходимо да се изчисли ∫ (S + 1) д ^2s DS

∫ (х + ^{1) д 2s DS = {Z =} S + 1, DZ = DS, у = 1 ^{/ 2е 2s, ди = д 2х} DS} = ((S + 1) ^{д) 2s} / 2-1 / 2 ∫e ^2s DX = ((S + 1) д ^2S) / 2-д ^2s / 4 + C;

• Трябва да се изчисли ∫lnsds

∫lnsds = {Z = LNS, DZ = DS / S, Y = S, Dy = DS} = slns - ∫s х DS / S = slns - ∫ds = slns -S + C = S (LNS-1) + C.

Смяна на променливата

Този принцип за решаване на неопределени интеграли са не по-малко в търсенето, отколкото предишните две, макар и сложно. Методът е както следва: Нека V (х) - интеграл на някои функции о (х). В случай, че само по себе си неразделна в Пример slozhnosochinenny идва, има вероятност да се объркате и да се понижат грешен път решения. За да се избегне тази практика промяна на променливата х към Z, в която общ израз визуално опростена при поддържане на Z в зависимост от х.

В математическите термини, е както следва: ∫v (х) DX = ∫v (у (Z)) у "(Z) DZ = V (Z) = V (Y -1 (х)), където х = у ( Z) - смяна. И, разбира се, обратната функция Z = Y ^-1 (х) напълно описва връзката и отношението на променливи. Важна забележка - диференциалната DX задължително се сменя с нов диференциал DZ, тъй като промяната на променливата в неопределен интеграл включва заменяйки я навсякъде, не само в подинтегрален.

например:

• трябва да намери ∫ (S + 1) / ⁽² + 2s и - 5) DS

Нанесете заместване Z = (S + 1) / (S ² + 2s-5). След DZ = 2sds = 2 + 2 (S + 1) DS <=> (S + 1) DS = DZ / 2. В резултат на това по следното уравнение, което е много лесно да се изчисли:

∫ (S + 1) / (S ² + 2s-5) DS = ∫ (DZ / 2) / г = 1 / 2ln | Z | + C = 1 / 2ln | S ² + 2s-5 | + С;

• вие трябва да намерите неразделна ∫2 ^и д ^а DX

За да реши пренапише в следния вид:

^{∫2 и д и DS = ∫ (} 2Е) и DS.

Ще означаваме с = 2e (подмяна на аргумента на тази стъпка не е, тя все още е), ние даваме нашия привидно сложен неразделна част от основния табличен вид:

^{∫ (2д) е DS = ∫a} S DS = а и / LNA + C = (2е) и / LN (2е) + С = 2 ^и д ^и / LN (2 + LNE) + С = 2 ^и д ^и / (ln2 + 1) + С

Обобщавайки диференциално знак

Като цяло, този метод на неопределени интеграли - брат близнак на принципа на промяна на променлива, но има различия в процеса на регистрация. Нека разгледаме по-подробно.

Ако ∫v (х) DX = V (х) + С и Y = Z (х), след това ∫v (у) ди = V (у) + С

В същото време не трябва да забравяме тривиалните интегрални трансформации, сред които:

• DX = г (х + а), и при което - всеки постоянен;
• DX = (1 / а) г (брадва + б), където - постоянна отново, но не е нула;
• xdx = 1 / 2d (х ² + б);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = г (sinx).

Ако говорим за общия случай, когато изчисляваме неопределен интеграл, примери могат да бъдат успешно интегрирани в рамките на общата формула w '(х) = DX ст (х).

примери:

• трябва да намери ∫ (2s + 3) ² DS, DS = 1 / 2D (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² DS = 1 / 2∫ (2s + 3) ² г (2s + 3) = (1/2) х ((2S + ^{3) 2)} / 3 + С = (1/6) х (2s + 3) + ² ° С;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (КМБПЗК) / КМБПЗК = -ln | КМБПЗК | + C.

Онлайн помощ

В някои случаи е по вина на която може да се превърне или мързел, или неотложна необходимост, можете да използвате онлайн подканите, или по-скоро, за да използвате калкулатор неопределени интеграли. Въпреки очевидната сложност и противоречив характер на интегралите, решението подлежи на техния специфичен алгоритъм, който се основава на принципа на "ако не ... тогава ...".

Разбира се, по-специално сложни примери за такъв калкулатор няма да се овладеят, тъй като има случаи, в които на решение, трябва да се намери изкуствено "принуден" чрез въвеждане на определени елементи в процеса, тъй като резултатите са очевидни начини за достигане. Въпреки противоречивия характер на това твърдение е вярно, тъй като математиката по принцип абстрактна наука, и нейната основна цел счита, че необходимостта да се даде възможност на границите. Наистина, за плавно движение-в теориите е много трудно да се движи нагоре и да се развива, така че не се предположи, че примерите за решаване на неопределени интеграли, които са ни дали - това е височината на възможности. Но да се върнем към техническата страна на нещата. Най-малко, за да проверите изчисленията, можете да използвате услугата, в който тя е написана за нас. Ако е необходимо за автоматично изчисляване на сложни изрази, а след това те не трябва да се прибегне до по-сериозен софтуер. Трябва да се обърне внимание преди всичко върху околната среда MatLab.

приложение

Решението на неопределени интеграли на пръв поглед изглежда напълно откъснати от реалността, защото е трудно да се види очевидното използване на самолета. Наистина, директно ги използвате навсякъде, където не може, но те са необходим междинен елемент в процеса на оттегляне на решения, използвани в практиката. По този начин, на интеграцията на гърба диференциация, като по този начин участват активно в процеса на решаване на уравнения.
От друга страна, тези уравнения имат пряко въздействие върху решението на механични проблеми, траектория изчисление и топлопроводимост - накратко, всичко, което представлява настоящето и оформяне на бъдещето. Неопределен интеграл, примери за които ние сме считани за по-горе, тривиално само на пръв поглед, като база за извършване на все повече и повече нови открития.