Парадокс Ръсел: основна информация, примери, формулировка

Ръсел парадокс е два взаимозависим логически парадокс.

Две форми на Парадокс на Ръсел

Най-често се обсъжда формата на противоречие в логиката комплекти. Някои от снимачната площадка изглежда е на самите членове, както и другите - не. Множеството от всички серии по себе си е комплект, така че изглежда, че тя се отнася към себе си. Null или празен, обаче, не трябва да бъде член на себе си. Поради това, множеството от всички множества, като нула не е включена в себе си. Възниква парадокс, когато въпросът дали наборът от член на себе си. Това е възможно единствено и само ако това не е така.

Друга форма парадокс е противоречие по отношение на имота. Някои имоти, изглежда се отнасят себе си, а други не са. Имотът се превръщат в собственост от своя страна е собственост, а имотът да бъде една котка не е така. Помислете собственост на притежаващ имот, който не принадлежи към него. ако се прилага към себе си? Отново, някои от предположенията трябва да е обратното. Парадоксът е кръстен в чест на Бъртранд Ръсел (1872-1970), който го е открил през 1901.

история

Откриване Ръсел настъпили по време на работата му "Принципи на математиката". Въпреки, че той е открил парадокс независимо, има доказателства, че други математици и програмисти на теория на множествата, включително Ernst Zermelo и Давид Хилберт, са били наясно с първата версия на противоречия пред него. Ръсел, обаче, е първият, който обсъжда подробно парадокса в публикуват творбите му, първо се опита да формулира решения и първият, който да се оцени напълно неговата значимост. Цяла глава от "Принципи" беше посветена на обсъждане на този въпрос, и заявлението е посветена на теорията на видове, които Ръсел предложи като решение.

Ръсел открил "парадокса на лъжеца", като се има предвид Кантор теория на множествата, която казва, че силата на всеки набор е по-малък от снимачната площадка на нейните подгрупи. Най-малко в областта трябва да бъде колкото се може повече подгрупи, тъй като има елементи в нея, ако една подгрупа на всеки елемент е зададен, съдържаща само този елемент. Освен това, Cantor доказано, че броят на елементите не може да бъде равен на броя на подгрупите. Ако имаше един и същ номер, то би трябвало да съществува ƒ функция, която ще покаже елементи на техните подгрупи. В същото време тя може да се докаже, че това е невъзможно. Някои елементи може да се визуализират върху функцията ƒ подгрупи, които ги съдържат, а други не могат.

Помислете за подмножество от елементи, които не принадлежат на техните изображения, в които те се показват ƒ. Тя самата е подмножество от елементи, и по тази причина, ƒ функция ще го покажете на даден елемент в домейна. Проблемът е, че тогава възниква въпросът за това дали този елемент принадлежи към подгрупата, към която показва ƒ. Това е възможно само ако тя не принадлежи. Парадокс на Ръсел може да се разглежда като пример за една и съща линия на разсъждение, само опростен. Нещо повече - наборите или подгрупи на снимачната площадка? Тя ще изглежда, че трябва да има повече серии, тъй като всички подгрупи на самите комплекти. Но ако теорема на Кантор е вярно, тогава не трябва да има повече подгрупи. Ръсел се разглежда просто показване на комплекти за себе си и прилага kantoriansky подход като се има предвид множеството на всички тези елементи, извън комплект, в който са показани. Показване на Ръсел става множеството от всички множества, която не е.

грешка Frege

"Парадоксът на лъжеца" има огромно влияние върху историческото развитие на теорията на множествата. Той показа, че концепцията за универсален комплект е много проблематично. Той също така поставя под въпрос схващането, че за всяко определено условие или предикат да предположим съществуването на множество само онези неща, които отговарят на това условие. Вариант парадокс относно имотите - естествено продължение на залез версия - повдига сериозни съмнения относно това дали е възможно да се спори за обективното съществуване на собственост или универсален съответствието на всеки определя от състоянието, или сказуемото.

Скоро бяха открити противоречия и проблеми в работата на логици, философи и математици, които са направили подобни предположения. През 1902 г., Ръсел установено, че вариант на парадокса може да се изрази в логическа система, разработена в том I на "Основи на аритметиката" Готлоб Фреге, един от основните работи по логиката на края на XIX - началото на XX век. В философията на Фреге много разбира като "разширение", или понятие "стойност-гама". Концепциите са най-близо до тези на корелати. Очаква се те да съществува за всяко дадено състояние или предикат. По този начин, има концепция на набор, който не попада в неговата дефиниране понятие. Налице е също така един клас, определен от тази концепция, и то е предмет на определяне на своята концепция, само ако не е така.

Ръсел пише на Фреге за този конфликт през юни 1902 г. Кореспонденцията се превърна в един от най-вълнуващите и говорихме за в историята на логиката. Фреге, призната незабавно катастрофалните последици от парадокса. Той отбеляза обаче, че версията на спорове по отношение на имотите в неговата философия е решен чрез разграничаване на понятията нива.

понятие Фреге разбира като преходът от аргументите на функцията, за да е истина. Концепциите първо ниво, като като аргументи обектите на концепциите на второ ниво да използват като аргументи за тези функции, и така нататък. По този начин, концепцията никога не може да се вземе като аргумент, а парадокс по отношение на имотите не могат да бъдат формулирани. Въпреки комплекти, разширяване или концепции Frege че се отнася за същата логическа вид, като на всички други обекти. След това за всеки комплект има един въпрос дали той попада в обхвата на понятието за това определяне.

Когато Фреге, Ръсел получил първото писмо, втория том на "Основи на аритметиката" вече е завършен печат. Той е бил принуден бързо да се подготвят приложение, което дава отговор на парадокса на Ръсел. Примери Frege съдържат редица възможни решения. Но той стига до заключението, да отслабва концепцията за абстракция комплект по логичен система.

В оригинала, че е възможно да се заключи, че обектът принадлежи към групата, ако и само ако той попада в обхвата на понятието, той определя. Ревизираната системата може единствено да заключим, че обектът принадлежи към групата, ако и само ако той попада в обхвата на понятието определящ множество, но не е зададен въпрос. Възниква парадокс на Ръсел.

Разтворът, обаче, не е напълно удовлетворен Frege. И това беше причината. Няколко години по-късно, по-сложна форма на противоречието е установено за новия начин на системата. Но дори и преди това се е случило, Frege изоставен неговите решения и да изглежда да се стигне до извода, че неговият подход е просто невъзможен, и тази логика ще трябва да направите, без някой от наборите.

Други пък са предложени, сравнително по-успешни алтернативни решения. Те са обсъдени по-долу.

Теорията на видове

Беше отбелязано по-горе, че Фреге е адекватен отговор на парадокси на теория в редакцията формулирани за свойства. отговор Фреге е било предшествано от най-често се обсъжда решение за тази форма на парадокс. Тя се основава на факта, че свойствата са обект на различни видове и какъв тип имот никога не е същото като на елементите, към които се отнася.

Така възниква дори не на въпроса, дали имотът е приложим за себе си. Логически език, който разделя елементите на такава йерархия, като се използва теорията на вида. Въпреки, че вече се използва от Фреге, за първи път това се обясняват и обосновано Ръсел в приложението към "принципа" на. Теорията на видове е по-пълна, отколкото разликата на нивата на Фреге. Тя сподели свойства са не само различни видове логика, но също така настроен. въведете теория, за да разреши противоречието в парадокса на Ръсел следва.

За да бъде по-философски адекватно, приемането на теорията на видове имоти, изисква разработването на теорията на характера на имотите, така че може да обясни защо те не могат да бъдат приложени към себе си. На пръв поглед, че има смисъл да предикат своята собственост. Имотът е на самосъзнание, изглежда, тя е и самосъзнание. Имотът изглежда е приятно приятна. По същия начин, както изглежда, изглежда фалшиво да се каже, че имотът да бъде една котка е котка.

Независимо от това, на различни мислители оправдани разделянето на различните видове. Ръсел дори даде различни обяснения по различно време в кариерата си. От своя страна, основната причина за разделянето на различните концепции на нивата на Фреге идва от неговата теория на ненаситени концепции. Понятия като функция, по същество, са непълни. За да се осигури стойност, те се нуждаят от един аргумент. Вие не само една идея може да предикат концепцията за един и същ вид, тъй като тя все още се нуждае аргумента си. Например, въпреки че е възможно да се вземе на квадратния корен на корен квадратен от число, не може просто да използвате корен квадратен функция за квадратен корен на функцията и да получите резултат.

За консерватизъм имоти

Друго възможно решение е Paradox свойства отрицание свойства наличието на по всички дадени условия, или добре оформени предикат. Разбира се, ако някой избягва метафизични свойства на двата обективни и независими елементи като цяло, ако вземем номинализъм парадокс може да се избегне напълно.

Въпреки това, за решаване на антиномията не е необходимо да бъде толкова краен. Логически системи по-висок порядък, разработени Фреге и Ръсел, съдържат това, което се нарича концептуален принцип, според който всеки отворен формули независимо от това колко сложна съществува като част от един имот или концепция за пример, само тези елементи, които съответстват на формулата. Те прилагат към атрибутите на всеки възможен набор от условия или предикати, без значение колко сложна са.

Независимо от това, че е възможно да се вземе на по-стриктен метафизиката имоти, даващи право на обективното съществуване на прости свойства, включително, например, като червено, твърдост, доброта и така нататък. D. Можете дори да споделите с тези свойства се прилагат за себе си, като доброта може бъде мил.

И същия статут за комплексни качества може да се отрече, например, такива "качества", тъй като има седемнадесет глави, се написан под вода и други подобни. D. В този случай, не предварително зададено условие не отговаря на имота, се разбира като отделно съществуващ елемент, който има свои собствени характеристики. По този начин не може да отрече съществуването на прости свойства бъде, собствености и че-не-се прилага към себе си и да се избегне парадокс чрез прилагане на по-консервативни метафизични свойства.

Парадокс на Ръсел: разтвора

Над него се отбелязва, че в края на живота си Frege напълно изоставени логиката на комплекти. Това, разбира се, едно решение за антиномията под формата на комплекти: просто отричане на съществуването на такива елементи, като цяло. В допълнение, има и други популярни избор, основите на които са показани по-долу.

Теорията за много видове

Както бе споменато по-рано, Ръсел играе за по-пълна теория на видове, които биха споделят не само свойствата или концепции за различни видове, но също така настроен. Ръсел споделен разположен на няколко отделни единици, а множество от групи от отделни обекти и др комплекти от предмети, които не са били разгледани и множество комплекти - .. Задава. Много никога не се радваше на типа, ви позволява да имате като член на себе си. Ето защо не е набор от всички множества, които не са членове на себе си, защото за всеки набор от въпроси за това дали е за член, само по себе си вид нарушение е. Отново, въпросът тук е да се обясни наборите метафизиката да обясни философски основи на разделението на видове.

стратификация

През 1937 г., В. В. Kuayn предложи алтернативно решение, по начин, подобен на теорията на вида. Основна информация за това са.

Сепаратора комплекти и др. Направени така, че предположението за намиране на множество винаги е неправилна или безсмислена. Наборите могат да се предоставят само при определяне на условията им не са вид нарушение. По този начин, за Куайн, изразът "х не е член на х" е смислено твърдение не предполага съществуването на множеството на всички елементи, които отговарят на това условие х.

В тази система съществува набор за някои отворен формула А, ако и само ако е стратифицирана, т. Е. Ако променливите са определени положителни числа, така че за всяка характеристика възникване на множество от предходните това променлива се определя задача единица по-малка от променливата, следваща след него. парадокс Това блокове на Ръсел, тъй като формулата, използвана за определяне на набор проблем, там е същото, преди и след знака на променливата членство което го прави unstratified.

Но това все още не е да се определи дали получената система, която Куайн нарича "Нови Основи на математическата логика" последователен.

отхвърляне

Напълно различен подход се разтваря в теорията на Zermelo - Fraenkel (ZF). Тук също, да определи срок за съществуването на комплекти. Вместо това, се доближава до "отгоре-надолу" на Ръсел и Фреге, които първоначално мислех, че за всички понятия, свойства, или условия, може да предложи на съществуването на множеството на всички неща с този имот, или за постигане на такова състояние, в ZF-теория, всичко започва "от долу нагоре".

Отделните елементи на празното множество и образуват съвкупност. Ето защо, за разлика от по-ранните системи и Ръсел Frege FIT не принадлежи към универсалната комплект, който включва всички елементи, и дори всички набори. ZF определя строги ограничения за съществуването на комплекти. Може да съществува само тези, за които не е ясно предполага, или които могат да бъдат формулирани чрез итеративни процеси и други подобни. D.

След това, вместо наивно набора концепция абстракция, който гласи, че даден елемент е включен в комплекта, ако и само ако отговаря на условията по принципа на разделяне се използва DF, раздяла или "сортиране". Вместо да се предположи съществуването на множеството на всички елементи, които са без изключение отговаря на определено състояние, за всеки съществуващ набор от Aussonderung показва наличието на подмножество на всички елементи в оригиналния комплект, който отговаря на условията.

След това идва абстракция принцип: ако съществува зададете, а след това, за всички х в А, х принадлежи към подгрупа А, който отговаря на условията, ако и само ако х удовлетворява условието C. Този подход решава парадокс Ръсел, тъй като ние не може просто да се предположи, което означава, че множеството от всички множества, които не са членове на себе си.

Да разполагаш с много набори, можете да изберете или го разделете на комплекти, които сами по себе си, както и тези, които не са такива, но тъй като не съществува универсален комплект не сме обвързани набор от всички комплекти. Без да се предположи, проблемът определя Ръсел противоречие не може да бъде доказано.

други решения

В допълнение, че е имало последващи разширения или модификации на тези решения, като например теорията вилица тип на "Принципи на математиката" разширителни система "Математическа логика" Куайн, както и по-новите развития в теорията на множествата, направен Bernays, Гьодел и фон Нойман. Въпросът за това дали отговорът на неразтворим парадокс Бъртранд Ръсел намери, все още е въпрос на дебат.