Диагонала равностранен трапец. Каква е средната линия на трапеца. Видове трапецовидна. Trapeze - това ..

Акробатика - специален случай на четириъгълник, в която една двойка страни е паралелно. Терминът "трапец" произлиза от гръцката дума τράπεζα, което означава "маса", "маса". В тази статия ще разгледаме видове трапец и неговите свойства. Също така, ние гледаме на това как да се изчисли на отделните елементи на геометрична фигура. Например, диагонала на равностранен трапец, средната линия, областта и други. Материалът съдържа в елементарна геометрия популярен стил, т. Е. В лесно достъпен начин.

Преглед

Първо, нека да се разбере какво четириъгълник. Тази цифра е специален случай на многоъгълник има четири страни и четири върха. Две върховете на четириъгълник, които не са в непосредствена близост, наречени обратното. Същото може да се каже на два несъседни страни. Основните видове четириъгълници - успоредник, правоъгълник, ромб, квадрат, трапец и делтоидния.

Така че обратно на трапеца. Както казахме, тази цифра двете страни са успоредни. Те са наречени бази. Другите две (неуспоредни) - страни. Материалите на различни изследвания и прегледи, много често може да се срещнат предизвикателства, свързани с трапецовидна, чието решаване често изисква познания на студента не са обхванати от програмата. Училище геометрия Курсът запознава учениците с ъгли свойства и диагонали, както и средната линия на равнобедрен трапец. Но, различна от тази, посочена геометрична форма има други функции. Но за тях по-късно ...

видове трапец

Има много видове на тази цифра. Въпреки това, най-често прието да помисли два от тях - равнобедрен и правоъгълен.

1. Правоъгълна трапец - фигура, в която една от страните, перпендикулярна на основата. Тя има два ъгъла винаги са равни на деветдесет градуса.

2. равнобедрен трапец - геометрична фигура, чиито страни са равни. Така че, както и от ъглите също са равни.

Основните принципи на методи за изучаване на свойствата на трапеца

Основните принципи включват използването на така наречения подход задача. В действителност, не е необходимо да се влиза в теоретичен курс Геометрия на нови свойства на тази цифра. Те могат да бъдат отворени или в процеса на формулиране на различни задачи (по-добра система). Това е много важно, че учителят знае какви задачи трябва да се постави пред студентите във всеки един момент от процеса на учене. Освен това, всеки трапец имот може да бъде представен като ключова задача в системата на задача.

Вторият принцип е така наречената спирала организиране на учебни "забележителни" трапец свойства. Това означава връщане към процеса на учене на индивидуалните особености на геометрична фигура. По този начин, на студентите по-лесно да ги запомнят. Например, собственост на четири точки. Това може да се докаже и в изследването на сходство и след това с помощта на вектори. Равна триъгълници съседни страни на фигурата, е възможно да се докаже, като се използва не само свойствата на триъгълника с еднакви височини проведени по стените на които лежат на една права линия, но също така и с помощта на формула S = 1/2 (АВ * sinα). Освен това е възможно да се работи на синусова теорема на вписан трапец или правоъгълен триъгълник и трапеца е описано в т. D.

Използването на "извънкласна" разполага с геометрична фигура в съдържанието на училище, разбира се - един задаващ тяхната технология на преподаване. Постоянна препратка към изучаване на свойствата на преминаването на другата дава възможност на студентите да се запознаят трапеца по-дълбоки и гарантира успеха на задачата. Така че, ние се пристъпи към изучаването на тази забележителна фигура.

Елементи и свойства на равнобедрен трапец

Както вече писахме, в тази геометрична фигура страни са равни. И все пак това е известен като дясната трапец. И това, което е толкова забележителен и защо е получил името си? Характерните особености на тази цифра се отнася, че тя има не само равни страни и ъгли в основата, но също така и по диагонал. В допълнение, сумата от ъглите на равнобедрен трапец един е равен на 360 градуса. Но това не е всичко! Само около равнобедрен могат да бъдат описани от кръг на всички известни трапецовидна. Това се дължи на факта, че сумата от противоположните ъгли на тази фигура е 180 градуса, а само при това условие може да бъде описан като кръг около четириъгълник. Следните свойства на геометрична фигура е, че разстоянието от горната част на основата на проекцията на противоположни пикове на линията, която съдържа тази база ще е равен на средната линия.

Сега нека да разгледаме как да се намерят ъглите на равнобедрен трапец един. Помислете за решение на този проблем, при условие, че размерът на страните известна фигура.

решение

Прието е да се обозначи четириъгълникът буквите А, В, С, D, където базовата станция и BP - основа. В равнобедрен трапец един страни са равни. Предполагаме, че техният размер е равен на X и Y размери са основи и Z (по-малка и по-голяма, съответно). За изчисляване на ъгъла на необходимостта да се харчат в H. височина Резултатът е правоъгълен триъгълник ABN където AB - хипотенузата и BN и AN - краката. Изчислява размера на крака: изважда от по-голямата основа минимална, и резултатът се разделя 2. напиши формула: (ZY) / 2 = F. Сега, за да се изчисли остър ъгъл на функционални COS за използване на триъгълник. Получават следната позиция: COS (β) = X / F. Сега се изчисли ъгъла: β = Arcos (X / F). Освен това, знаейки, че един ъгъл, можем да определим и второ, да направи тази елементарна аритметика операция: 180 - β. Всички ъгли са определени.

Има и второ решение на този проблем. В началото е пропуснат от ъгъла в разгара на крака Н. изчислява стойността на BN. Ние знаем, че квадрата на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни. Получаваме: BN = √ (X2 F2). На следващо място, ние използваме тригонометрични функции Тг. Резултатът е: β = arctg (BN / F). В остър ъгъл е намерена. След това се определят тъп ъгъл, както в първия метод.

Имотът на диагоналите на равнобедрен трапец с

Първо, ние напише четирите правила. Ако диагонала в равнобедрен трапец са перпендикулярни, тогава:

- височината на фигурата е равна на сумата от бази, разделен на две;

- височината и средната линия са равни;

- площ на трапеца е равна на квадрата на височината (централната линия на половината бази);

- квадрата на диагонала на квадрат е равна на половината от сумата от два пъти квадратни основи или средната линия (височина).

Сега погледнете формулата за определяне на диагонал равностранен трапец. Тази информация може да бъде разделен на четири части:

1. Формула диагонал дължина чрез своята страна.

Ние приемаме, че А е - по-ниска база, B - Top, C - равни страни, D - диагонал. В този случай, продължителността може да се определи, както следва:

D = √ (С2 + A * В).

2. Формула за диагонала на косинус.

Предполагаме, че А е - по-ниска база, B - Top, C - равни страни, D - диагонал, α (в долната основа) и β (горната база) - трапецовидни ъгли. Ние получи по следната формула, от които може да се изчисли дължината на диагонала:

- D = √ (А2 + S2-2A * C * cosα);

- D = √ (А2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (В2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (В2 + S2-2V * C * cosα).

3. Формула диагонал дължина на равнобедрен трапец.

Предполагаме, че А е - по-ниска база, B - горна, D - диагонал, М - средната линия Н - височина, P - площ на трапец, а и β - ъгълът между диагонали. Определяне на дължината на следните формули:

- D = √ (М2 + N2);

- D = √ (H 2 + (А + В) 2/4);

- D = √ (N (А + В) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2М * N / sinα).

За този случай равенството: sinα = sinβ.

4. Формула диагонал дължина през стените и височина.

Предполагаме, че А е - по-ниска база, B - Top, C - страни, D - диагонал, Н - височина, α - ъгъл с долната основа.

Определяне на дължината на следните формули:

- D = √ (H 2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H 2 + (B + F * ctgα) 2);

- D = √ (А2 + S2-2A * √ (С2-Н2)).

Елементи и свойства на правоъгълен трапец

Нека да погледнем какво се интересувате от тази геометрична фигура. Както казахме, имаме правоъгълен трапец два прави ъгъла.

Освен класическото определение, има и други. Например, един правоъгълен трапец - трапец, в която едната страна е перпендикулярна на основата. Или оформи като най странични ъгли. При този вид височина трапеци е страната, която е перпендикулярна на базите. В средната линия - отсечка, която свързва средите на двете страни. Имотът на този елемент е, че тя е успоредна на основите и равен на половината от сумата им.

Сега нека да разгледаме основните формули, които определят геометрични форми. За да направите това, ние приемаме, че А и Б - основа; C (перпендикулярна на основата) и D - страни на правоъгълен трапец, М - средна линия, α - малък ъгъл, P - поле.

1. страна, перпендикулярна на основата, на фигура равна на височината (C = N), и е равна на дължината на втората странична А и синуса на ъгъла а в по-голяма база (С = А * sinα). Освен това, тя е равна на произведението от тангенса на а на остър ъгъл и разликата в бази: С = (А-В) * tgα.

2. страна D (не е перпендикулярна на основата), равен на отношението на разликата на А и В и косинус (α) или малък ъгъл за частния височината фигури Н и задължително малък ъгъл: А = (А-В) / защото α = C / sinα.

3. страна, която е перпендикулярна на основата, е равен на корен квадратен от квадрата на разлика D - втората страна - и квадратна основа разлики:

С = √ (q2 (А-В) 2).

4. Страничен правоъгълен трапец е равен на корен квадратен от квадратна сума на квадрат страна и С бази геометрична форма разлика: D = √ (С 2 + (А-В) 2).

5. страна С е равно на отношението на квадратен двойно сумата от неговите основи: С = P / М = 2P / (А + В).

6. зоната, определена от продукт М (централната линия на правоъгълен трапец) във височина или странична посока, перпендикулярна на базите: P = М * N = M * С

7. Позиция С е частното от два пъти квадратна форма от продукта задължително малък ъгъл и сумата от неговите основи: С = P / M * sinα = 2P / ((А + В) * sinα).

8. Формула страна на правоъгълен трапец чрез диагонал, а ъгълът между тях:

- sinα = sinβ;

- С = (D1 * D2 / (А + В)) * sinα = (D1 * D2 / (А + В)) * sinβ,

където D1 и D2 - диагонал на трапеца; α и β - ъгълът между тях.

9. Формула страна на ъгъл на долната основа и другите: А = (А-В) / cosα = C / sinα = Н / sinα.

Тъй като трапец с прави ъгли е частен случай на трапеца, други формули, които определят тези цифри, ще се срещнат и правоъгълна.

Имоти вписаната

Ако състоянието се казва, че в правоъгълен трапец вписан кръг, а след това можете да използвате следните качества:

- количеството на основата е сумата от страните;

- разстояние от горната част на формата на правоъгълна до точките на допиране на вписан кръг е винаги равно;

- височина на трапеца е равна на страна, перпендикулярна на основата, и е равна на диаметъра на кръга ;

- центъра на окръжността е точката, в която се пресичат ъглополовящи на ъгли ;

- ако страничната страна на точката на контакт е разделена на дължини N и М, то радиусът на кръга е равен на корен квадратен от продукта от тези сегменти;

- четириъгълник, образувана от точките на контакт, на върха на трапец и центъра на вписан кръг - това е квадратна, чиято страна е равен на радиуса;

- площ на фигурата е продукт на разума и на продукта на половината сума от бази в разгара си.

Подобна трапец

Тази тема е много полезна за изучаване на свойствата на геометрични фигури. Например, диагонално разделение на четири триъгълника трапецовидно, и са в непосредствена близост до базата на други подобни, както и да отстрани - на равно. Това твърдение може да се нарече собственост на триъгълници, което е счупено трапец диагонали. Първата част на това твърдение е доказано чрез знака на сходството на двата ъгъла. За да се докаже втората част е по-добре да се използва метода, посочен по-долу.

доказателството

Приемете тази цифра ABSD (AD и BC - основа на трапеца) е счупени диагонали на HP и AC. Пресечната точка - О. Ние получаваме четири триъгълници: AOC - по-ниската база, BOS - горната основа, ABO и СОД отстрани. Триъгълниците СОД и биофидбек имат обща височина в този случай, ако сегментите на БО и OD са техните бази. Ние считаме, че разликата на техните части (Р), равен на разликата на тези сегменти: PBOS / PSOD = БО / ML = K. Следователно PSOD = PBOS / К. По същия начин, AOB триъгълници и биофидбек имат обща височина. Приети за техните базови сегменти SB и ОА. Получават PBOS / PAOB = СО / OA = К и PAOB = PBOS / К. От това следва, че PSOD = PAOB.

За да се консолидират материалните студентите се насърчават да се намери връзка между областите на триъгълници, получени, който е счупен трапец диагонали, решавайки следващата задача. Известно е, че триъгълници BOS и ADP райони са равни, то е необходимо да се намери областта на трапец. Тъй PSOD = PAOB, след PABSD PBOS + = PAOD + 2 * PSOD. От сходството на триъгълници BOS и ANM следва, че БО / OD = √ (PBOS / PAOD). Следователно PBOS / PSOD = БО / OD = √ (PBOS / PAOD). Вземи PSOD = √ (* PBOS PAOD). След PABSD PBOS + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

свойства сходство

Продължавайки да се развива тази тема, че е възможно да се докаже, и други интересни характеристики на трапецовидна. Така че, с помощта на сходството може да докаже, сегментът на собственост, която минава през точката, образуван от пресичането на диагоналите на геометрична фигура, успоредно на земята. За това ние решим следния проблем: необходимо е да се намери RK сегмента на дължина, която минава през точката О. От сходството на триъгълници ADP и СПУ следва, че АО / OS = AD / BS. От сходството на триъгълници ADP и ASB следва, че AB / AC = PO / AD = BS / (BP + BS). Това означава, че базовата станция * PO = AD / (AD + BC). По подобен начин, от сходството на триъгълници MLC и ABR следва, че OK * BP = BS / (BP + BS). Това означава, че ОС и RC = RC = 2 * BS * AD / (AD + BC). Сегмент минаваща през пресечната точка на диагоналите успоредно към основата и свързване на двете страни, точката на пресичане се разделя на половина. Дължината му - е средна хармонична причина фигури.

Обърнете внимание на следните характеристики на трапец, който се нарича собственост на четири точки. точката на пресичане на диагоналите (D), точката на пресичане на продължението на страните (Е), както и средата на бази (Т и G) винаги лежат на една и съща линия. Лесно е да се докаже, метода на сходство. Получените триъгълници са сходни BES и AED и всеки включително средна ЕТ и DLY разделят ъгълът Е в равни части. Следователно, точка Д, Т и F са колинеарни. По същия начин, на същата линия са разположени по отношение на Т, О и G. Това следва от сходството на триъгълници BOS и ANM. Ето защо ние се заключи, че всичките четири условия - E, T, O и F - ще лежат на една права линия.

Използването на подобни трапецовидна може да се предложи на студентите да се намери дължината на отсечката (LF), която разделя на фигурата на две като. Тази разфасовка трябва да бъде успоредна на основите. Тъй като получи трапец ALFD LBSF и други подобни, на BS / LF = LF / АД. Това означава, че LF = √ (BS * BP). Ние се заключи, че сегмент, който се разделя на две трапец като, има дължина, равна на средната геометрична стойност на дължините на бази фигура.

Помислете за следното свойство на сходство. В основата му се крие сегмент, който разделя трапеца на две равни числа. Предполагаме, че трапецът на ABSD е разделен от сечение на ЕХ на две подобни. Височината се изпуска от върха B, който се разделя от сегмент ЕХ на две части - B1 и B2. Получаваме: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (AD + EH) * B2 / 2 и PABSD = (BS + AD) * (B1 + B2) / 2. След това създаваме система, чието първо уравнение е (BS + EH) * B1 = (AD + EH) * B2 и второто (BS + EH) * B1 = (BS + AD) * (B1 + B2) / 2. Оттук следва, че B2 / B1 = (BS + EH) / (AD + EH) и BS + EH = ((BS + AD) / 2) * (1 + B2 / B1). Получаваме, че дължината на сегмента, разделяща трапеца на две равни части, е равна на средната дължина на квадратен корен: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Изводи за сходството

По този начин доказахме, че:

1. Сегментът, свързващ се в трапецума на средата на страничните страни, е паралелен на артериалния и BS и е равен на средната аритметична стойност на BS и AD (дължината на основата на трапеца).

2. Линията, преминаваща през точката O на пресечната точка на диагоналите, паралелна на AD и BS, ще бъде равна на средната хармонична числа AD и BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Сегментът, разделящ трапецовия на подобни, има дължината на средните геометрични основи на BS и AD.

4. Елементът, разделящ фигурата на две равни части, има дължината на средния квадрат на номерата AD и BS.

За да консолидира материала и да осъществи връзката между изследваните сегменти, ученикът трябва да ги изгради за определен трапец. Той може лесно да показва средната линия и сегментът, който минава през точка О - пресечната точка на диагоналите на фигурата - успоредна на основите. Но къде ще бъде третият и четвъртият? Този отговор ще доведе ученика до откриването на желаната връзка между средните стойности.

Сегментът, свързващ средните точки на диагоналите на трапеца

Обърнете внимание на следното свойство на тази фигура. Предполагаме, че сегментът MN е успореден на основите и разделя диагоналите наполовина. Точките на пресичане ще се наричат W и W. Този сегмент ще бъде равен на основната полу-разлика. Нека анализираме това по-подробно. MS е средната линия на триъгълника ABC, тя е равна на BS / 2. MN е средната линия на триъгълника ABD, тя е равна на AD / 2. Тогава получаваме М, = MN-MN и следователно М, = A / 2-BC / 2 = (AD + BC) / 2.

Център на тежестта

Нека разгледаме как е дефиниран този елемент за дадена геометрична фигура. За тази цел е необходимо да се удължат основите в противоположни посоки. Какво означава това? Необходимо е да добавите към горната база долната част - от двете страни, например отдясно. И дъното се простира с дължината на горния ляв ъгъл. След това ги свържете с диагонал. Точката на пресичане на този сегмент със средната линия на фигурата е центърът на тежестта на трапеца.

Вмъкнати и описани трапези

Да разгледаме характеристиките на тези цифри:

1. Трапец може да бъде вписан в кръг само ако е равнобедрен.

2. Около периферията може да се опише трапец, при условие че сумата от дължините на техните основи е равна на сумата от дължините на страничните страни.

Последици от вписания кръг:

1. Височината на описания трапец е винаги равна на два радиуса.

2. Страничната страна на описания трапец се наблюдава от центъра на кръга под прав ъгъл.

Първият резултат е очевиден и за да докажем второто, трябва да установим, че ъгълът на SOD е директен, което всъщност не е много трудно. Но познаването на тази собственост ще ни позволи да прилагаме триъгълник с правилен ъгъл, когато решаваме проблеми.

Сега нека да конкретизираме тези последици за равнобедрен трапец, който е вписан в кръг. Получаваме, че височината е средната геометрия на основата на фигурата: H = 2R = √ (BS * AD). Разработвайки основния метод за решаване на проблемите с трапецовидните елементи (принципа на задържане на две височини), студентът трябва да реши задачата по-долу. Предполагаме, че BT е височината на една isosceles фигура на ABSD. Необходимо е да се намерят сегменти AT и TD. Прилагайки формулата, описана по-горе, това няма да е трудно.

Сега нека разберем как да определим радиуса на окръжността, като използваме зоната на описания трапец. Спускаме височината от върха В до основата на кръвното налягане. Тъй като кръгът е вписан в трапеца, тогава BS + AD = 2AB или AB = (BS + AD) / 2. От триъгълника ABN намираме sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD = (BS + AD) * BN / 2, BN = 2R. Получаваме PABSD = (BS + AD) * R, следва, че R = PABSD / (BS + AD).

,

Всички формули на средната линия на трапеца

Сега е време да отидете до последния елемент на тази геометрична фигура. Да видим какво е средната линия на трапеца (M):

1. Чрез базите: M = (A + B) / 2.

2. Чрез височина, основа и ъгли:

• М = А-Н * (ctgα + ctgb) / 2;

• М = В + Н * (ctgα + ctgb) / 2.

3. Чрез височината, диагоналите и ъгъла между тях. Например, D1 и D2 са диагонали на трапеца; Α, β са ъглите между тях:

М = D1 * D2 * sinа / 2Н = D1 * D2 * sin / 2Н.

4. Чрез площта и височината: M = P / H.